Vektorrechnung: Beweis für Kollinearität

[nobody]

Hallo !

Unsere Lehrerin hat uns folgende Aufgabe gestellt wofür ich sehr dringend ne Lösung bräuchte:

Bei Kollinearität von Vektoren gilt ja a =k*b !
Sie wollte wissen:
Zwei Vektoren a und b sind kollinear und die Vektoren x und y auch, wenn folgendes gilt : x = a+b ; y = a-b !
BEWEISE
Kann mir da jemand schnell mal helfen ...meine Mathezensur hängt an nem dünnen Faden .... :D

[Scheintoter]

a und b sind kolinear. Es gilt: a = k*b
Daraus folgt:
x = a+b = k*b+b = (k+1)*b
y = a-b = k*b-b = (k-1)*b
Wenn x und y kolinear sind, gibt es ein l so dass gilt:
x = l*y
(k+1)*b = l*(k-1)*b
l = (k+1)/(k-1)

Da dieses l als Ergebniss eine irrationale Zahl für k <font class="serif">≠</font> 0 hat, müssen x und y kolinear sein für k <font class="serif">≠</font> 0 bzw.
a <font class="serif">≠</font> b.

(Die Striche über den Buchstaben sind Vektorpfeile)

[crazy_budgie]

Hallo!
Zuerst mal Beweis, dass x und y kollinear sind:

dann muss gelten p*x + q*y = 0 genau dann, wenn p und q (Skalare) beide 0 sind.
Also
p*(a+b) + q*(a-b) = 0
a*(p+q) + b*(p-q) = 0

Aus p+q und p-q beide 0 folgt natürlich p=q=0.

Nun zu a und b:

stell einfach die Gleichungen um und setzt ineinander ein, dann erhälst Du b=1/2(x-y) und a=1/2(x+y), geht dann genauso wie oben das einhalb stört ja nicht im geringsten.
So, fertig :D

Gruß, CB