Differentialrechnung

[nobody]

Ich mache gerade meinen Staatl. Techniker und habe ein Problem mit Diff. Rechnung. Hier eine Aufgabe :
1)
Wie verhalten sich Radius r und Höhe h einer zylindrischen Dose zueinander, wenn die Oberfläche der Dose ein Minimum werden soll und das Volume konstant gehalten wird?

2)
Vier Stäbe von gleicher Länge I bilden die Kanten einer quadratischen Pyramide. Wie groß müssen Grundfläche und Höhe der Pyramide gewählt werden, damit ihr Inhalt ein maximum wird.


Bei Aufgabe Nummer 1. komme ich immer zu einem Punkt, indem der Radius negativ wird und das wird falsch sein, denke ich

Danke für eure Bemühungen im Vorraus. Ein Lösungsweg wäre Klasse.

MfG Marcus

[nobody]

So schreibe ich noch schnell wie weit ich bei der ersten Aufgabe gekommen bin:

(I)Der Konstante Anteil ist : V= R^2*Pi*h
(II) OberFläche ist : 2*Pi*r*(h+r)
(I) nach h : h=V/(r^2*Pi)
Eingesetzt in (II): 2*Pi+r*(V/(r^2*pi)+r)
Macht : 2*Pi*r^2+2(V/r)
Ist doch als Ableitung f`=4*pi*r+2*V
Und das ist die Stelle, an der ich nicht weiter komme

[engie]

Macht : 2*Pi*r^2+2(V/r)
Ist doch als Ableitung f`=4*pi*r+2*V

Die Ableitung von 2V/r ist doch -2V/r².
Dann kommst du auf ein positives r.

[engie]

Zur 2. Aufgabe:

Sei a die Länge der Grundseite und h die Höhe der Pyramide.
Das Volumen der Pyramide ist ja:
(1) V= 1/3 a² h

und nach Pythagoras gilt:
(2) (a/2)² + h² = l²

Dies als kleiner Ansatz, den Rest kannst du ja mal alleine probieren.

[Marvek]

Also gut, ich versuch mich mal an der 1er:

h Höhe
r Radius
V Volumen
A Oberfläche

(I) V=r2*pi*h
(II) A=r2*pi*2 + 2*pi*r*h

aus (I) ergibt sich r=V/(pi*h)
dieses r in (II) eingesetzt:

A=V/(pi*h) *pi*2 + 2*pi*h*v/(pi*h)

vereinfacht:

A=2*V/h+2*V*pi*h

jetzt abgeleitet und dabei V als Konstante behandelt:

A'=-2*V/h2+2*V*pi*1/(2*h)

A'=0 , beide Seiten mit h2 multipliziert und vereinfacht ergibt:

h3=4*V/pi

Nun gilt für V schliesslich (I), eingesetzt und vereinfacht erhält man:

h = 2r

Die Höhe muss also gleich dem Durchmesser sein.

[nobody]

Schönen Dank für die schnellen Antworten , ich denke das hat mir weiter geholfen