Ich weiss schon, wann sie homogen ist, oder nicht.
Weiter komme ich nicht.
Kann mir jemand kurz erklären, wie ich da ran gehe, oder mir einen guten Link sagen?
Alichimist
07.07.2003, 20:53
Einiges darüber erfährst du schon im thread:
http://www.studenten-city.de/forum/showthread.php?postid=130124#post130124
Die allg. lösung der homog. Dgl. ermittelt man mit Hilfe des Exponentialansatzes
y = erx
dies führt eigentlich immer zum Ziel.
Alternativ kannst du bei inhomog. Dgl. mit konstanten Koeffizienten das verfahren der Variation der Konstanten (Lagrange) anwenden.
Ansonsten auch mal die Suchfunktion hier im Forum anwenden :)
Gruß
StudentJojo
07.07.2003, 21:06
Die Suchfunktion hatte ich schon benutzt, hab aber nur so spezial fälle gefunden... Ich bräuchte nur ein einnfaches Rechenbeispiel, dann tät ich das schon verstehen. Der Link hat mir nicht wirklich weitergeholfen.
Nehmen wir einmal an, es wäre folgende Diffgleichung gegeben:
y'=y/x
Soweit ich jetzt aus dem gelinkten Beitrag verstanden habe, muss ich folgendes machen:
dy/dx=y/x => dy/y=dx/x
So, mehr hab ich nicht herausbekommen, wäre schön, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
buba
07.07.2003, 21:10
dy/dx = y/x
1/y dy = 1/x dx
Das nun integrieren.
StudentJojo
07.07.2003, 21:15
dann bekomm ich ln(y)=ln(x) => y=x
is das dann schon meine Lösung?
Cool! So jetzt test ich dann ma ne schwierigere.
PS: Klappt sowas nur wenn die Diffgleichung homogen ist? UNd klappt das dann bei jeder homogenen Diffgleichung?
Alichimist
07.07.2003, 21:20
lass uns mal ne Anwendung aus der Physik probieren. Die Def. der Beschleunigung lautet doch:
a = dv/dt setzen wir gleich noch a = -g (Erdbeschl.)
haben möchten wir aber einen Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit v und Zeit t, also 'ne Funktion. Das erreichen wir durch Lösen dieser gewöhnlichen Dgl. 1.Ordnung nach dem Verfahren Trennung der Variablen. Machen wir das:
dv = -g*dt ist jetzt beidseits (einmal über v und dann über t) unbestimmt zu integrieren.
<font class="serif">∫</font> dv = -g <font class="serif">∫</font>dt (Umformung wegen g=const. möglich)
hier ist die Integration trivial, denn es folgt unmittelbar:
v(t) = -gt + C (C Integrationskonstante)
Mit t=0 als Anfangsbedingung findest du gleich v=v0
und somit auch:
v(t)= -gt + v0
Geht dein eigenes Bsp. jetzt besser??
Gruß, Alchimist
upsidedown
07.07.2003, 21:31
Originalnachricht erstellt von Alichimist
Einiges darüber erfährst du schon im thread:
http://www.studenten-city.de/forum/showthread.php?postid=130124#post130124
Die allg. lösung der homog. Dgl. ermittelt man mit Hilfe des Exponentialansatzes
y = erx
dies führt eigentlich immer zum Ziel.
Das gilt aber nur für lineare Differentialgleichungen!
Und Variation der Konstanten dient auch lediglich zur Bestimmung der Partikulärlösung nachdem man die Fundamentallösungen der homogenen Gleichung bereits gefunden hat.
Simples Beispiel: y' y = 1
Viel Spass mit e&lambda - Ansatz ;)
(Wobei das Ding simpel zu lösen ist, aber das nur am Rande)
StudentJojo
07.07.2003, 21:38
@ Alchimist: Verstehe, was du meinst.
Jetzt hab ich aber schon das nexte Problem:
y'=y/x²
dy/y=dx/x²
integrieren:
ln(y)=integral(1/x²)dx
... wie integriere ich 1/x² ?
partiell, substitution, formelsammlung, hat alles nix geholfen
is ja auch keine lineare Diffgleichung.
Aber wie soll ich eine nicht lineare Lösen?
Alichimist
07.07.2003, 21:47
wie integriere ich 1/x² ?
das ist doch ein Grundintegral, oder? x-2 , also:
f'(x) = -x-1 =-1/x
Alichimist
07.07.2003, 21:51
@upsidedown:
du hast ja Recht, aber ich hab das eher als ne einführung für einen offenbar in Not geratenen Schüler hingeschrieben, weniger für Mathefreaks :p
Gruß
upsidedown
07.07.2003, 21:51
f'(x)? F(x) meinst du ;)
btw: die Dgl ist linear, aber nicht mit konstanten Koeffizienten.
StudentJojo
07.07.2003, 21:55
Oh weh, wie peinlich... ich versinke gerade 10 km in den Boden
@ upsidedown:
Wann ist eine Diffgleichung nicht mehr linear? wenn das y nen exponenten <1 hat?
@ Alchimist: eher ein in Not geratener Student... übrigens mit MatheLK 13 Punkten, bloss hatten wir in der Schule nie etwas von Diffgleichungen gehört...
Alichimist
07.07.2003, 21:57
ich versinke gerade 10 km in den Boden
achte aber darauf, da unten gibt's keinen Handyempfang mehr zu Rettung :D
bloss hatten wir in der Schule nie etwas von Diffgleichungen gehört
das glaub ich gerne, aber in Physik reichen eigentlich auch erstmal die lin. Dgl. 1. u. 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.
upside kann da sicher viel mehr als ich (Studium TC) drüber reden..
Gruß
doppelelch
07.07.2003, 21:58
Ich möchte auch nochmal ins selbe Horn stoßen wie uppi
(Gedacht als kleiner Hinweis für einen in Not geratenen und etwas desorientierten Studenten):
Es gibt (noch? :D ) nicht DIE allgemeine Lösungsmethode für jede x-beliebige Differentialgleichung.
Letztlich muss man sich mit Lösungsmethoden für Spezialfälle begnügen.
Wollte ich an dieser Stelle nur in aller Deutlichkeit loswerden.
Gruß
de
StudentJojo
07.07.2003, 22:03
Ok, wann ist denn eine Diffgleichung lösbar?
Dann muss ich das c vom integrieren immer in meine Lösung schreiben, also bei folgender Gleichung:
y'=y/x²
=> y(x)=e(hoch(-1/x))+C ?
was mach ich nun, wenn ich noch so eine komische Bedingung gegeben habe: y(-1)=-1 ?
liefert mir das dann eine konkrete Gleichung ohne C?
doppelelch
07.07.2003, 22:09
Originalnachricht erstellt von StudentJojo
Ok, wann ist denn eine Diffgleichung lösbar?
Du solltest Mathematik studieren, denn Du stellst die richtigen Fragen! :D Ich glaube nicht, dass die Mathematik auf diese sehr allgemein gestellte Frage heute schon eine Antwort hat!
y(-1)=-1 ?
liefert mir das dann eine konkrete Gleichung ohne C?
Sozusagen! Dies ist eine Bedingung, die Dir erlaubt, C zu berechnen!
Einfach die Bedingung in Deine allgemeine Lösung für y(x) einsetzen!
Gruß
de
doppelelch
07.07.2003, 22:17
Originalnachricht erstellt von StudentJojo
Wann ist eine Diffgleichung nicht mehr linear? wenn das y nen exponenten ungleich 1 hat?
Genau, oder das y´ oder das y´´... oder wenn Produkte von y und y´ oder y und y´´ oder y´ und y´´ oder ... in der Gleichung auftreten.
Gruß
de
StudentJojo
07.07.2003, 22:22
Mir schwant gerade:
y'=y/x²
da hab ich dann geschrieben:
=> y(x)=e(hoch(-1/x))+C
muss das nicht y(x)=e(hoch(-1/x))*C heissen?
wobei C ein anderes C sein muss, als das, welches ich beim Differenzieren bekomme.
doppelelch
07.07.2003, 22:25
Originalnachricht erstellt von StudentJojo
=> y(x)=e(hoch(-1/x+C) )
Da würde ich das C hinsetzen. Ich hoffe, Du bemerkst den Unterschied! Im einen Fall war es ein konstanter Summand, nun ist es letztlich ein konstanter Faktor eC. Die Konstante "entsteht" doch beim Integrieren. D.h. immer dort, wo Du unbestimmte Integrale zu lösen hast treten (und zwar genau an diesen Stellen) doch Integrationskonstanten auf (die C´s).
Entsprechend ändert sich übrigens der Wert für C, wenn Du jetzt Deine o.g. Bedingung y(-1)=-1 einsetzt.
Gruß
de
StudentJojo
07.07.2003, 22:25
Zitat:
Du solltest Mathematik studieren, denn Du stellst die richtigen Fragen! Ich glaube nicht, dass die Mathematik auf diese sehr allgemein gestellte Frage heute schon eine Antwort hat!
Wenn ich darauf eine Antwort finde, werde ich dann berühmt?
doppelelch
07.07.2003, 22:26
Originalnachricht erstellt von StudentJojo
Mir schwant gerade:
y'=y/x²
da hab ich dann geschrieben:
=> y(x)=e(hoch(-1/x))+C
muss das nicht y(x)=e(hoch(-1/x))*C heissen?
wobei C ein anderes C sein muss, als das, welches ich beim Differenzieren bekomme.
LOL Genau dazu habe ich zeitgleich zu Deiner Frage eben etwas geschrieben. So ist es!
Gruß
de
doppelelch
07.07.2003, 22:27
Originalnachricht erstellt von StudentJojo
Wenn ich darauf eine Antwort finde, werde ich dann berühmt?
Dessen kannst Du sicher sein!
:D
StudentJojo
07.07.2003, 22:30
So is das Leben...
Alles nur Zufall, oder alles logische Reaktionen auf Aktionen, welche wiederum logische Reaktionen anderer Aktionen sind?
Da tut sich dann aber die Frage auf, welche Aktion als erste da war, da sie ja dann keine logische Reaktion war...
StudentJojo
07.07.2003, 22:31
Originalnachricht erstellt von doppelelch
Dessen kannst Du sicher sein!
:D
Oh, cool, da weiss ich ja, was ich mal mach, wenn ich bisschen Zeit habe.
Hab ja auch schon 2 Ideen, um ein Perpetuum Mobile zu bauen :-)
doppelelch
07.07.2003, 22:32
Originalnachricht erstellt von StudentJojo
So is das Leben...
Alles nur Zufall, oder alles logische Reaktionen auf Aktionen,...
:D auch dazu hatten wir hier schon einen sehr ausführlichen Beitrag.
("Determinismus oder Zufall" oder so ähnlich) :D
Viel Spaß noch bei den kommenden DGLen und Gruß
de
doppelelch
07.07.2003, 22:33
Originalnachricht erstellt von StudentJojo
Oh, cool, da weiss ich ja, was ich mal mach, wenn ich bisschen Zeit habe.
Hab ja auch schon 2 Ideen, um ein Perpetuum Mobile zu bauen :-)
Viel Spaß :D
StudentJojo
07.07.2003, 22:35
Originalnachricht erstellt von doppelelch
:D auch dazu hatten wir hier schon einen sehr ausführlichen Beitrag.
("Determinismus oder Zufall" oder so ähnlich) :D
ich werd immer ganz konfus in der Birne, wenn ich länger über so etwas nachdenke...
StudentJojo
07.07.2003, 23:01
so, nun hab ich das Problem einer nicht liniaren Diffgleichung:
y'=(y²-y)/x
was mach ich jetzt?
buba
07.07.2003, 23:41
Leutz, nutzt doch den http://www.chemieonline.de/forum/images/misc/edit.gif Link...
y' = (y²-y)/x
dy/dx = (y²-y)/x
1/(y²-y) dy = 1/x dx
(Partialbruchzerlegung)
ln((y-1)/y) = ln(x)
(y-1)/y = x
y-xy-1 = 0
y(1-x) = 1
y = 1/(1-x)
Denk dir die Integrationskonstanten dazu.
doppelelch
08.07.2003, 07:25
Originalnachricht erstellt von buba
Leutz, nutzt doch den http://www.chemieonline.de/forum/images/misc/edit.gif Link...
Dann zitiert es sich aber immer so schrecklich umständlich.
Ist so einfach bequemer gewesen! Warum sollte ich mir hier auch noch zusätzlichen Stress bereiten. So schlimm ists ja nun auch nicht, oder?
Gruß
de
buba
08.07.2003, 08:12
Originalnachricht erstellt von doppelelch
Warum sollte ich mir hier auch noch zusätzlichen Stress bereiten.
sagt ein geplagter Lehrer...? :rolleyes:
doppelelch
08.07.2003, 14:14
Originalnachricht erstellt von buba
sagt ein geplagter Lehrer...? :rolleyes:
So ists!
StudentJojo
08.07.2003, 21:23
Ich meld mich in ein paar Tagen noch einmal. Hab morgen und Donnerstag Klausuren. Das mit der Partialbruchzerlegung hab ich ned so gerafft, ansonsten geht das ja ganz normal...
StudentJojo
11.07.2003, 09:40
So, jetzt gehts wieder los:
Und sogleich hab ich ein Problem, ich habe eine nicht Homogene Diffgleichung:
y'=2y/x+x²
Die kann ich jetzt nicht so schön durch trennung der Variablen und integrieren lösen, kann mir jemand kurz sagen, wie ich das mache?
StudentJojo
11.07.2003, 10:02
Beim durchforsten des Forums kam ich auf folgende Idee:
x² weglassen:
y'=2y/x
=> y=x²*c
y(x)=c(x)*x²
y'(x)=c(x)*2x+c'(x)*x²
so, jetzt komm ich aber nicht weiter...
Bin ich auf dem richtigen Weg, oder ist das totaler Müll, den ich verzapft habe?
upsidedown
11.07.2003, 10:18
Kurz?
Erstmal die homogene Dgl lösen: y' = 2 y/x (sollte kein Problem darstellen)
Und dann kommt man mit der Variation der Konstanten (klingt widersprüchlich, hat aber seinen Sinn der Name des Verfahrens wie du gleich sehen wirst) zum Ziel:
oben kommt raus: yH = C x²
Und dafür mach ich den Ansatz für die partiluläre Lösung yp = C(x) x²
Das Ding setz ich in die Dgl ein (Produktregel beim Ableiten nicht vergessen!)
C' x² + 2 C x = 2 (C x²)/x + x²
Wenn jetzt alle C rausfliegen und nur C' übrig bleibt dann funktioniert das Verfahren. Damit krieg ich die einfache Dgl:
C' x² = x²
C' = 1
C = x (auf Integrationskonstaten kann man hier verzichten, da man nur eine einzige Lösung braucht)
mit C = x wird yp = C(x) x² = x³
Damit meine Gesamtlösung:
y = C x² + x³
Einsetzen in die Dgl zum verifizieren lass ich dir über ;)
/Nachtrag: Ich seh grad, du bist da auf dem absolut richtigen Weg :up: (hatte vor deinem letzten Posting angefangen zu schreiben). Das Einzige was noch fehlt ist das Einsetzen des Ansatzes samt Ableitung in die Dgl)
StudentJojo
11.07.2003, 10:24
Cool, hätt ich dann eigentlich selber draufkommen müssen, dass ich die in die Diffgleichung einsetzen muss...
auf jedenfall danke! :)
StudentJojo
12.07.2003, 18:24
p''=5-3p-4p'
wie gehe ich da grundsätzlich ran, und wie nennt man so eine Diffgleichung?
buba
12.07.2003, 19:56
Lästig nennt man die. ;)
StudentJojo
12.07.2003, 20:12
ok, kann man die auch lösen?
upsidedown
12.07.2003, 21:01
Das ist eine lineare inhomogene Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Im Volksmund auch als Schwingungsgleichgung bekannt. Oder etwas hochtrabender: Gleichung des harmonischen Osszillators.
Ja, kann man lösen - der berühmte e&lambda-Ansatz. Interessant wirds wenn die &lambda komplex werden (und das tun sie bei deinen Koeffizienten)