X sei die Anzahl der K beim viermaligen unabhängigen Werfen einer Laplace-Münze.
a) Berechnen Sie E(X)
b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Y=X-E(X) und berechnen Sie E(Y)
zu a)Ist E(X)=2 ?
zu b)Um E(Y) berechnen zu können, brauche ich doch erst P(Y=y), aber wie bekomme ich dies?
Kerstin
Biohazard
15.10.2001, 15:00
Wie kommt es, dass niemand hierauf geantwortet hat? Ist niemand da, der sich mit Stochastik auskennt?
Ich wuerde mich sehr dafuer interessieren, wie die Loesung aussieht, denn meine Kombinatorik habe ich schon wieder groesstenteils vergessen, ebenso komme ich mit den Zufallsgroessen nicht sonderlich zurecht...
Lim_Dul
18.10.2001, 23:54
Ich hab heute meine erste Stochastik Vorlesung gehabt ;)
Ich muss jetzt erstma ein paar Begrifflichkeiten klären.
Was ist E(X) bzw E(Y), was ist damit gemeint?
Biohazard
19.10.2001, 00:08
Zwar ist Stochastik mein wunder Punkt, aber ich denke, das weiss ich dennoch:
Mit E(X) und E(Y) sollten gemeinhin der Erwartungswert der Zufallsgroesse X bzw. Y gemeint sein.
Der Erwartungswert ist die Summe der Produkte aus xi bzw. yj und deren Wahrscheinlichkeiten W(xi) bzw. W(yj)
Geschrieben als:
E(x)= <font class="serif">Σ</font> xi * W(xi), mit i=1 bis n ; bei Y entsprechend.
Mit dem Erwartungswert wird beispielsweise der mittlere Gewinn bei einem Wuerfelspiel errechnet, bei dem man die Einzelwahrscheinlichkeiten und die einzelnen Gewinne und Verluste in einer Zufallsgroesse anordnen kann.
Kennt vielleicht jemand ein paar gute Adressen zu sowas? (Ich hatte ja schonmal gefragt ;) )
nobody
12.11.2003, 17:30
Originalnachricht erstellt von Kerstin
X sei die Anzahl der K beim viermaligen unabhängigen Werfen einer Laplace-Münze.
a) Berechnen Sie E(X)
b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Y=X-E(X) und berechnen Sie E(Y)
zu a)Ist E(X)=2 ?
zu b)Um E(Y) berechnen zu können, brauche ich doch erst P(Y=y), aber wie bekomme ich dies?
zu a) Es handelt sich um eine Binomialverteilung. Der Erwartungswert einer solchen Verteilung ist n*p. Also ist E(X) = 4*1/2 = 2 richtig.
zu b) Die Verteilung von Y = X - E(X) würde mich auch mal interessieren. Weiß da jemand was dazu?
E(Y2) ist jedenfalls die Varianz von X, also in diesem Fall n*p*(1 - p) = 4*1/2*1/2 = 1, aber danach wurde ja offenbar nicht gefragt.
buba
12.11.2003, 17:57
x = Anzahl "Kopf" 0 1 2 3 4
P(X=x) jeweils (1/2)^4
E(X) = (1/2)^4 * (0+1+2+3+4) = 0,625
glimpse
12.11.2003, 18:42
Originalnachricht erstellt von buba
P(X=x) jeweils (1/2)^4
Nee buba... die Münzwürfe hier sind binomialverteilt... die Wahrscheinlichkeit vier mal hintereinander Kopf zu kriegen ist nicht gleich der es zweimal zu kriegen ;)
der Erwartungswert einer Konstanten ist die Konstante selbst, also E(E(x))=2
-> E(Y) = 2 - 2 = 0
upsidedown
12.11.2003, 19:02
Alles richtig buba - aber hat nichts mit dem Problem zu tun.. Guck dir nochmal die Herleitung der Bernoulligleichung an :rolleyes:
nobody
12.11.2003, 21:32
Originalnachricht erstellt von glimpse
und zu b) (mit uppis freundlicher Unterstützung):
Y=X-E(X)
da E(X+Z) = E(X)+E(Z) (Rechenregel)
ist E(Y) = E(X) - E(E(x))
der Erwartungswert einer Konstanten ist die Konstante selbst, also E(E(x))=2
-> E(Y) = 2 - 2 = 0
Aber wie sieht denn nun die Verteilung von X - E(X) konkret aus? Ist es einfach
(4 über k)*0,5k*0,54-k - 2 ?
upsidedown
12.11.2003, 21:41
Wenn du das mal einsetzt wirst du feststellen, dass du ganz viele negative Wahrscheinlichkeiten rausbekommst..
Die Verteilung geht einfach
Y | P(Y)
-2| 1/16
-1| 1/4
0| 3/8
1| 1/4
2| 1/16
wenn ich mich da jetzt nicht im Kopf verrechnet haben sollte.
Das Y=X-E(X) ist einfach eine Verschiebung der Verteilung, dass sie den Mittelwert 0 erhält.
nobody
12.11.2003, 21:56
Ah, verstehe, danke.
Ich glaube, ich habe Zufallsvariable und die dazugehörige Verteilung verwechselt.
X ist die Zufallsvariable, die Binomialverteilung ist (wie der Name schon sagt) die Verteilung dieser Zufallsvariable ...
Das bedeutet offenbar, dass man die Verteilung einer zusammengesetzten Zufallsvariable (also in diesem Fall von X - E(X)) nicht einfach problemlos mit Hilfe der Verteilung von X hinschreiben kann, richtig?
:silly:
upsidedown
12.11.2003, 22:30
Hmm... klingt noch leicht wirr bei dir. Das als zusammengesetzt Zufallsvariable zu bezeichnen ist zwar richtig aber scheint noch etwas zu verwirren: Da kommt lediglich eine Konstante zu - ansonsten wärs schon etwas mehr Arbeit die zugehörige Verteilung zu berechnen (das läuft dann auf die diskrete Form von Faltungsintegralen hinaus, aber das nur ganz am Rande)
nobody
12.11.2003, 22:39
Naja, f = 2 würde ich mit demselben Recht als Funktion bezeichnen, obwohl es nur einen einzigen Wert annimmt :-)
Aber danke für den Tipp.
Mein Problem war nur: Ich hätte gern eine Formel, statt einer Tabelle. Aber das scheint eben nicht so einfach zu gehen, wie ich dachte...
upsidedown
12.11.2003, 22:46
Doch, geht schon:
P(X=k) = (4 über k)*0,5k*0,54-k
Daraus wird dann transformiert
P(Y=k-2) = (4 über k)*0,5k*0,54-k
Besser so? ;)
nobody
12.11.2003, 23:06
hmmmmmmjagutgut, hab mich noch nicht ganz an diese Notation gewöhnt, aber ich glaube, es dämmert mir so langsam ... hoffentlich :-)
Und ich werd' mir mal etwas genauer die angesprochenen Faltungen anschauen müssen...