Integral unter Umgehung der Binomialkoeffizienten ausrechnen

[nobody]

hallo ihr!

arbeite gerade an der erstellung eines migrationsmodells für radioaktivität im boden. im zuge der arbeit bin ich auf folgendes problem gestossen, bei dem ihr mir hoffentlich helfen könnt:

wie bestimme ich folgendes intagral ohne die gesamte binomialentwicklung ausführen zu müssen?

<font class="serif">∫</font> (1 - e-b * x )250 * dx

wobei b eine konstante ist

würde mich über lösungsvorschläge sehr freuen!
lg
markus

[doppelelch]

Nur eine erste Frage, ohne gleich Hoffnungen machen zu wollen:

Muss das exakt sein oder wären auch Näherungslösungen annehmbar?

Gruß
de

[doppelelch]

Sodele...folgender Vorschlag:

Eine Substitution u=1-e^(-b*x)

führt letztlich zu einem zu lösenden Integral von

u^250/(1-u)

Das lässt sich umformen zu

-[(u^(250)-1)/(u-1)]-1/(u-1)

Der Teil in der eckigen Klammer stellt die Summe einer geometrischen Reihe dar:

u^249+u^248+u^247+...+u^2+u^1+1

Das lässt sich also wunderbar summandenweise integrieren (Ich würde dafür die Summeneschreibweise wählen, das spart Schreibarbeit).

und der hintere Teil der Differenz lässt sich auch schön integrieren, nämlich zu

ln(1-u)

Das ganze jetzt noch mit den jeweiligen Vorzeichen zusammenbacken und fertig.

Achso, halt! Du musst natürlich noch resubstituieren.

Gruß
de

P.S.: Falls noch Fragen sind, bitte nachfragen!

[nobody]

danke für die hilfe!
werde es gleich mal ausprobieren!

[doppelelch]

Bitteschön.

Wie gesagt: Nachfragen, falls Probleme auftauchen!

Gruß
de