Satz von Bolzano und Weierstraß [Archiv]

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nobody

15.02.2001, 17:09

tag,

ich verstehe den sogenannten "Satz von Bolzano und Weierstraß" nicht so ganz.
Dieser besagt, daß jede (auf ein Intervall)beschränkte, unendliche Zahlenfolge mindestens einen Häufungspunkt hat.

Eine andere Aussage ist, daß (wenn ich das richtig verstanden hab) man jeden, in einem noch so kleinen Intervall auf der Zahlengeraden liegenden, Punkt durch einen Bruch beschreiben (erreichen kann) (Zachmann, 4. Auflage, Seite 16).
Also gibt es in jedem Intervall unendlich viele Punkte, die alle durch irgendeinen Bruch beschreibbar (erreichbar)sind.

Eine Folge, die durch eine entsprechende Vorschrift alle diese unendlich vielen Punkte in einem Intervall "abgrast" (was ja nun möglich ist, da jeder durch einen Bruch darstellbar ist), wäre unendlich gleichzeitig auf das Intervall beschränkt; die einzelnen Glieder aber lägen alle nebeneinander (da ja auch all die unendlich vielen Punkte der Zahlengeraden nebeneinander liegen) und es gäbe keinen Häufungspunkt.

Oder kann man ein Intervall etwa doch nicht in unendlich viele Punkte aufteilen, so daß die beschriebene Folge gar nicht unendlich wäre?

Lim_Dul

22.09.2001, 02:07

ich verstehe den sogenannten "Satz von Bolzano und Weierstraß" nicht so ganz.
Dieser besagt, daß jede (auf ein Intervall)beschränkte, unendliche Zahlenfolge mindestens einen Häufungspunkt hat.
Anders formuliert heißt das es in diesem Intervall es mindestens einen Punkt gibt um den, egal wie klein man das Intervall macht, unendlich viele Punkte liegen.

Das wird in dem Augenblick verständlich, wenn man das Anfangsintervall in 2 Teile teilt. Nun müssen entweder links oder rechts uendlich viele Elemente der Folge sein.
Denn währen in beiden Teilen endlich viele, so hätte das ganze Intervall auch endlich viele.
Dann macht man das gleiche Spiel mit dem Intervall, wo die unendlich vielen Elemente drin sind usw.
Damit hat man eine Intervallschachtelung aus Intervallen, die jeweils uendlich viele Elemente enthalten. Und so eine Intervallschachtelung enthält am ende genau einen Punkt.

Brauchen tut man den Satz, wenn es um Grenzwerte von (Zahlen)Folgen geht.
Da ließt sich der Satz nämlich wie folgt:
Jede auf einem intervall eingeschränkte Folge besitzt mindestens eine konvergente (das. heißt. eine folge, deren Grenzwert exiestiert) Teilfolge.
Und damit kann man einige nette Sachen beweisen.

Tomboy

22.09.2001, 20:35

War das nicht so, dass bei Zahlenfolgen der Definitionsbereich auf die natürlichen Zahlen beschränkt ist?? :silly:

Lim_Dul

23.09.2001, 18:33

Hängt davon ab wie man den Begriff Zahlenfolge definiert.
Schliesslich ist 1+1/N auch eine Folge von Zahlen.

Tomboy

23.09.2001, 20:00

Aber 1+1/N entspricht doch auch dem Wertebereich, oder seh ich da was falsch? Der Definitionsbereich ist meines Wissens nach auf natürliche Zahlen beschränkt.
Is natürlich möglich, dass man das unterschiedlich definieren kann, ich bin ja schließlich kein wirklicher Mathematiker oder sowas....

Lim_Dul

23.09.2001, 20:28

ich glaub ich da was mißverstanden gerade ;)
ja der Definitionsbereich einer Zahlenfolge ist normalerweise ganz N.
Aber es geht jetzt darum wenn du eine Zahlenfolge hast, deren Wertebereich durchaus ganz wild aussieht und nun schränkst du diesen Wertebereich auf ein abgeschlossenes Intervall ein und in diesem Intervall liegen unendlich viele Elemente der Zahlenfolge, dann kannst du eine unendliche Folge in diesem Intervall finden, die gegen einen fest bestimmten Grenzwert strebt.

Beispiel:

Die Folge an = (-1)n wechselt immer zwischen 1 und -1.
Schränkt man jetzt den Wertebereich auf [-1,1] ein, so liegen in diesem Intervall unendlich viele (in diesem Fall sogar alle) Folgenglieder.
Nun sagt der Satz, das es mindestens eine Teilfolge gibt, die eben nicht beliebt schwankt.
Hier kann man z.b. einfach jedes zweite Folgenglied nehmen, damit hat man dann die konstante Folge 1.

Tomboy

23.09.2001, 20:54

OK, ich war auch etwas verwirrt... wir haben bisher in der Schule Intervalle immer nur senkrecht gemacht, nich waagerecht. :)

nobody

29.09.2001, 18:51

HI,
ich habe hier noch einen Erklärungsversuch,weil mir die Erklärungsversuche mit der Intervallschachtelung selber nicht so gefallen (mit vielen Beispielen).

Zahlenfolgen
a) √1, √2, √3, √4,.... an= √ n, n E N
b)4,4,4,4,... an =4, n E N
c)1,1/2,1/3,1/4,... an =1/n, n E N
d)2,2/3,2/9,2/27,... an =2(1/3)n-1 , n E N
e)1/3,2/5,3/7,4/9,... an =n/(2n+1), n E N
f)1,-2,4,-8,16,... an =(-2)n , n=0,1,2,3,...
g)1,2+1/2,1,2+1/3,1,2+1/4,1,... an =1, n ungerade bzw. 2+2/(n+2), n gerade

Eine Zahl h heißt Häufungspunkt der Folge an, wenn für unendlich viele n die Folgenglieder an beliebig nahe an der Zahl h liegen.
Beachtet man, daß |a-b| den Abstand der Zahlen a und b angibt, kann man dies so formulieren :

h ist Häufungspunkt der Folge an, falls es zu jeder Zahl ε > 0 unendlich viele Indices n gibt, für die |h-an|< ε gilt.

Man kann ∞ (und analog -∞) als uneigentlichen Häufungspunkt definieren :

∞ ist uneigentlicher Häufungspunkt von an , falls es zu jeder Zahl S E R unendlich viele n gibt mit an ≥ S.

Satz von Bolzano-Weierstraß

Jede beschränkte Zahlenfolge in R (oder C) besitzt einen Häufungspunkt.

a) ∞ ist uneigentlicher Häufungspunkt,
b) 4 ist Häufungspunkt,
c) 0 ist Häufungspunkt,
d) 0 ist Häufungspunkt,
e) 1/2 ist Häufunspunkt,
f) ∞ und -∞ sind uneigentliche Häufungspunkte,
g) 1 und 2 sind Häufungspunkte.

Quelle: Repetitorium der höheren Mathematik, Merziger und Wirth

Tomboy

29.09.2001, 19:00

Ach, jetzt hab ich verstanden... wir nennen das Grenzwert. :)

nobody

29.09.2001, 19:21

Zusammenhang zwischen Häufungspunkt und Grenzwert

• Jeder Grenzwert ist Häufungspunkt.
• Ist h einziger Häufungspunkt der beschränkten Folge an , so ist h Grenzwert von an .
• Eine Folge mit mehr als einem Häufungspunkt ist divergent.
• h ist Häufungspunkt von an genau dann, wenn es eine gegen h konvergente Teilfolge von an gibt.

Tomboy

29.09.2001, 19:26

OK, ich lag doch nich ganz richtig. Wenigstens hab ich jetzt nen Vergleich zu Begriffen, die mir bekannt sind.
Ich schätze mal, dass wir im Matheunterricht im Laufe des Schuljahres auch noch zum Häufungspunkt kommen werden.

nobody

29.09.2001, 19:34

Das Buch, welches ich als Quelle angegeben habe ist wirklich sehr gut. In den Uni-Büchern wie Analysis I - Königsberger oder Analysis I - Forster sind eben auch nur solche "Erklärungsansätze", die W zur Verzweiflung gebracht haben.