Wir haben neulich gelernt: ∫ 1/x dx = ln x bzw. (ln x)´ = 1/x
Ableiten ist ja ganz einfach, z.B. [ln(3x-2)]´= 3/(3x-2)
Aber wie kommt man weiter, wenn man einen Ausdruck wie z.B. h(x) = 4x/(x-2) integrieren will?
Man kann versuchen: ∫ h(x)dx = ln(x-2)*2x2, aber beim Ableiten des Ergebnisses muss man ja die Produktregel anwenden und das ist dann nicht gleich der Integrandenfunktion.
Also, wie geht's? :)
No Regrets
14.02.2001, 14:31
Das Zauberwort heißt partielle Integration
Sei f(x) eine Funktion mit der Stammfunktion F(x) und G(x) eine Funktion mit der Ableitung g(x). Dann gilt:
∫ f(x)G(x) dx = F(x)G(x)-∫ F(x)g(x) dx
D.h. ist in dem zu bestimmenden Integral der Inegrand ein Produkt, so läßt man einen Faktor (hier f(x)) als Ableitung einer Funktion (hier F(x)) auf und wendet obige Formel an.
Da nach Anwendung der Regel wieder ein Integral auftritt, führt diese Regel nur dann zum Ziel, wenn man dieses neue Integral lösen kann.
viel spaas
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IN SO FAR AS QUANTUM MECHANICS IS CORRECT, CHEMICAL
QUESTIONS ARE PROBLEMS IN APPLIED MATHEMATICS.
<FONT COLOR="#ffffff" SIZE="1" FACE="Verdana, Arial, Geneva, Helvetica">[Dieser Beitrag wurde von No Regrets am 14.02.2001 editiert.]</font>
Ace
11.07.2001, 22:12
Ich würde das Problem eher mit der Substitutionsmethode lösen:
h(x) = 4x/(x-2)
∫h(x)= H(x) = 4∫x/(x-2)dx
nun erfolg die Substitution des Nenners:
u = x-2 oder (für später) x = u + 2
das ganze einpassen, wir müssen ja auch dx ersetzen:
du/dx = 1 [ x-2 ] abgeleitet ergibt 1.
einsetzen: Im Zähler haben wir noch x, das wir auch ersetzen können
x=u+2
-> H(x)= 4 ∫(u+2)/u = 4( ∫u/u du + ∫ 2/u du )
Integrieren: H(x) = 4u + 4 * 2 ln(u) + C
Nun noch Rücksubstitution: u = x-2
Lösung: H(x) = 4(x-2) + 8 ln(x-2) + C
So einfach!
Gruss Ace
nobody
04.09.2001, 21:50
Und was ist, wenn weder die partielle Integration, noch die Substitution hilft? :confused:
Adam
04.09.2001, 21:57
@Gladiator
Dann hilft nur noch die Nummerik...sprich Approximieren...Trapez-Formel, Simpson-Formel...Gauß-Verfahren...u.a.
Ich würde ehe immer zuerst in einer Formelsammlung schauen bei komplizierten Integrationsproblemen...
Grüß
Adam
Ace
15.09.2001, 00:00
Bevor du dann aber dort approximierst, könntest du noch die Partialbruchzerlegung anwenden...