Beweise

[nobody]

Wie kann ich beweisen, dass:
1. die gegenueberliegenden Seiten eines Parallelogramms gleich lang sind?
2. die gegenueberliegenden Winkel gleich gross sind?
3. sich die Diagonalen halbieren?

Ich habe an Informationen bekommen, dass die Beweisdurchfuehrung so aussehen sollte:
1. die Voraussetzung
2. die Behauptung
3. der Beweis

[hippie]

also bei 2. würd ichs über den wechselwinkel ausprobieren

hippie
:fish:

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Es gibt Probleme, die löst man am besten in HCl

[nobody]

Brauchst Du einen "klassischen" Beweis oder darfs auch vektoriell (analytische Geometrie) sein?

[nobody]

Meiner Meinung nach kann man alle 3 Sachen gar nicht ohne Vorraussetzung nachweisen, weil irgendwas ja gegeben sein muss, damit es sich um ein Parallelogramm handelt. Aber jede einzelne Vorraussetzung reicht schon aus, dass eindeutig ein Parallelogramm gegeben ist. Und mit jeder von den einzelnen Vorraussetzung dürfte es nicht schwer sein, die anderen 2 zu beweisen. Irgenwie muss das Viereck ja gegeben sein...

[Tobili]

1. Vorraussetzung

Parallelogramm: gegenüberliegene Seiten sind parallel

2. Behauptung

a) gegenueberliegenden Seiten eines Parallelogramms sind gleich lang
b) gegenueberliegenden Winkel gleich groß
c) Diagonalen halbieren sich in der Mitte

3. Beweis

a) Zwei parallele Geraden werden von einer Geraden geschnitten. Der Abstand zwischen den Schnittpunkten ist gleich. Wird diese Gerade nun parallel verschoben so ist auch dort der Abstand zwischen den Schnittpunkten nun gleich dem ersten Abstand.

Verbindet man nun diese 4 Schnittpunkte so erhält man ein Parallelogramm.

b) Schneidet eine Gerade (u) eine andere Gerade, so entstehen zwei verschieden Winkel (wenn sie nicht orthogonal sind). Wird eine zweite Gerade parallel geschnitten so entstehen dieselben Winkel. Zu der Geraden (u) nimmt man nun eine zweite Gerade die parallel zu u ist. Auch dort entstehen die selben Winkel, da die gerade ja parallel ist.

Daraus ergibt sich, dass nur zwei verschiedene Winkel entstehen. Diese müssen aufgrund der Vorraussetzung gegenüberleigen - wäre das nicht der Fall, so wären die Seiten nicht parallel. (oder: vorherige Antwort: Wechselwinkel)

c) Hier fällt mir jetzt nur Vektorenrechnung ein:
Man hat nun 4 Punkte berechnet den Abstand zwichen den gegenüberliegenden Punkten und stellt mit zwei gegenüberliegenden Punkten eine Geradengleichung auf, schneidet die beiden Geraden und erhält einen Punkt. Dieser Punkt hat nun zu jedem Punkt einen Abstand. Jeweils zwei von diesen Abständen müssen gleich sein. Und halb so groß sein wie zwischen zwei gegenüberliegenden Punkten.

<FONT COLOR="#ffffff" SIZE="1" FACE="Verdana, Arial, Geneva, Helvetica">[Dieser Beitrag wurde von Tobili am 15.01.2001 editiert.]</font>

<FONT COLOR="#ffffff" SIZE="1" FACE="Verdana, Arial, Geneva, Helvetica">[Dieser Beitrag wurde von Tobili am 15.01.2001 editiert.]</font>

[nobody]

Ach ja genau! Da hat Tobili ja genau recht, dass ein Parallelogramm durch jeweils 2 Parallele Seiten gegeben ist. Des hab' ich vorhin vergessen. Tut mir Leid...

@Tobili
Beweis a) geht wie du schon sagst über den sog. Verschiebungssatz, der sagt, dass jeder Punkt mit seinem Bildpunkt eine Strecke konstanter Länge ergibt, die der "Länge" der Verschiebung entspricht. Also müssen die zwei gegenüberliegenden Seiten immer gleichlang sein, weil man jede Seite durch die verschiebung der gegenüberliegenen Parallelen bekommt und der Abstand der zwei Punkte gleich bleibt.

nicht dass ich dich kritisieren will, aber b) geht über die Z-Winkel und auch wieder über den Verschiebungssatz. Weil genau wie du sagst, dass wenn eine Gerade 2 Parallele Geraden schneidet sind die jeweiligen Z-Winkel gleich groß.

die c) muss man echt über die geschlossen Vektorkette machen. anders geht die wohl nicht.