Russisch Roulette

[nobody]

Hier nun ne Aufgabe für euch Mathe-freaks:

99 gute Schützen stehen nachts auf einem Friedhof. Alle Abstände sind verschieden. Beim 12.Glockenschlag schießt jeder auf seinen nächsten Nachbarn. Beweise:

a) Niemand wird von mehr als 5 Kugeln getroffen.

b) Mindestens einer überlebt.

Ich selber habe leider noch keine eindeutige Lösung gefunden http://www.chemieonline.com/forum/smilies/confused.gif!

Also, viel Spaß noch beim Rätseln!

[nobody]

Ist (vermutlich) nicht so schwierig, wie's ausschaut...

Fang bei zwei Schützen an mit Deinen Überlegungen und erhöhe dann die Anzahl immer um eins:

4 Personen: drei an den Ecken eines gleichseitigen Dreiecks (natürlich einige Millimeter daneben, damit die Bedingung "unterschiedliche Abstände" erfüllt ist), die vierte Mittelpunkt M. Die Person in M wird von drei Kugeln getroffen, da sie von jeder anderen Person aus gesehen die nächste ist.

5 Personen: analog aber mit Quadrat (vier Kugeln auf M).

6 Personen: analog aber mit regelmäßigem Fünfeck (fünf Kugeln auf M). (Die Seitenlänge des Fünfecks ist (r/2)*sqrt[10-2*sqrt(5)])

7 Personen: analog aber mit regelmäßigem Sechseck. Hier wird die Person in der Mitte nicht von 6 Kugeln getroffen, da die Seiten des regelmäßigen Sechsecks gleich dem Radius des Kreises sind, auf dem die Ecken des Sechsecks liegen.

==> Es gibt keine Mögliche Anordnung, bei der ein Schütze von mehr als 5 Kugeln getroffen wird (war zu zeigen).

zu b:
Annahme des Gegenteils: alle Schützen werden von einer Kugel getroffen. --> Niemand wird von zwei oder mehr Kugeln getroffen. (Keine Person ist der nächste Nachbar von zwei oder mehr Schützen.)
Jetzt eine Vermutung: Die Schützen müssten dazu alle auf einer Geraden stehen, die Abstände werden vom einen Ende her immer länger. Das würde bedeuten, der Schütze an dem Ende mit den größeren Abständen würde von keiner Kugel getroffen. --> Es gibt keine Anordnung der Schützen, bei der das Gegenteil der zu beweisenden Behauptung eintritt. Folglich muss die zu beweisende Behauptung richtig sein.

(Das ist vermutlich nicht ganz richtig, aber so ähnlich funktioniert das wohl...)

Oder man fängt mit einer Person an, setzt die Zweite auf einen Kreis um 1 mit Radius r1. Die dritte Person auf einen Kreis um 2 mit Radius r2... Die n-te Person auf einen Kreis um (n-1) mit Radius r(n-1). Alle Radien sind unterschiedlich groß, eine Person kann nicht auf Schnittpunkten der Kreislinien liegen... (ist wahrscheinlich die elegantere/richtigere Methode?!)

Bin auf andere Ideen gespannt.

[This message has been edited by Moritz (edited 02-11-2000).]

[This message has been edited by Moritz (edited 02-11-2000).]

[wolferl]

Wenn jeder daneben schießt ist a und b erfüllt.
keiner wird von mehr als 5 kugeln getroffen
und es überlebt mindestens 1.
Zugegeben es ist keine hochmathematische Lösung, aber sie stimmt oder.
Und nochwas, am Friedhof mitten in der zur Geisterstunde kann man sowies nicht ganz so gut sehen, geschweige denn gut zielen.

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Lehrer sind Vorbilder, und Bilder gehören an die Wand gehängt

[This message has been edited by wolferl (edited 03-11-2000).]

[nobody]

Originally posted by wolferl:
Wenn jeder daneben schießt ist a und b erfüllt.
keiner wird von mehr als 5 kugeln getroffen
und es überlebt mindestens 1.
Zugegeben es ist keine hochmathematische Lösung, aber sie stimmt oder.


Bravo! Ich halte das auch für die beste Lösung. Auf einem dunklen Friedhof ist die Wahrscheinlichkeit groß, dass überhaupt niemand trifft.
Und wenn dann noch überall Grabsteine herumstehen... http://www.chemieonline.com/forum/smilies/biggrin.gif

Also: Keiner wird von mehr als 5 Kugeln getroffen und mindestens einer überlebt.

q.e.d. http://www.chemieonline.com/forum/smilies/biggrin.gif