buba
25.08.2000, 10:11
Was sind Matrizen (Plural von Matrix) und was kann man damit berechnen?
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buba
Moderator
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buba
Moderator
Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Matrizen
nobody
25.08.2000, 10:44
Hallo Buba!
Also Matrizen sind (ganz einfach und wahrscheinlich nicht ganz richtig formuliert) "Tabellen" mit in Zeilen und Spalten angeordneten Elementen (z.B. reelen Zahlen).
Einfaches Beispiel: eine (1,1) Matrix besteht aus einer Zeile und einer Spalte. Die (1,1) Matrizen entsprechen den reelen Zahlen.
Anderes Beispiel: Vektoren in der Ebene werden als (2,1) Matrizen dargestellt, im Raum als (3,1) Matrizen.
Anwendungen: Lösung linearer Gleichungssysteme, lineare Abbildung von Vektorräumen.... (Bei letzterem weis ich aber nicht, was das bedeutet ;-).
Matrizen kann man auch addierern, multipliziern, ...
Moritz
Also Matrizen sind (ganz einfach und wahrscheinlich nicht ganz richtig formuliert) "Tabellen" mit in Zeilen und Spalten angeordneten Elementen (z.B. reelen Zahlen).
Einfaches Beispiel: eine (1,1) Matrix besteht aus einer Zeile und einer Spalte. Die (1,1) Matrizen entsprechen den reelen Zahlen.
Anderes Beispiel: Vektoren in der Ebene werden als (2,1) Matrizen dargestellt, im Raum als (3,1) Matrizen.
Anwendungen: Lösung linearer Gleichungssysteme, lineare Abbildung von Vektorräumen.... (Bei letzterem weis ich aber nicht, was das bedeutet ;-).
Matrizen kann man auch addierern, multipliziern, ...
Moritz
Tomboy
19.04.2002, 19:21
Wir haben heute im Zusammenhang mit der Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme ein GS mit zwei Gleichungen und 3 Variablen gehabt... Die Lösung haben wir dann mit einem Parameter berechnet und in einer Gleichung angegeben, in der drei Zahlen übereinander in einer Klammer standen. wenn ich das oben richtig verstanden habe, waren das dann wohl Matrizen?
Unsere Lehrerin kam dann noch auf einen aus unserem Kurs (der Beste aus dem Kurs würde ich meinen) und mich zu und hat uns gesagt, wir sollten uns mal darüber informieren (sie will uns auch Kopien dazu geben...), da für das Thema nach dem Lehrplan nicht genug Zeit ist und aber für das Verständnis von linearen GS nützlich ist und außerdem im Studium gebraucht wird.
Was sagen denn die einzelnen Zahlen in diesen Klammern genau aus?
Unsere Lehrerin kam dann noch auf einen aus unserem Kurs (der Beste aus dem Kurs würde ich meinen) und mich zu und hat uns gesagt, wir sollten uns mal darüber informieren (sie will uns auch Kopien dazu geben...), da für das Thema nach dem Lehrplan nicht genug Zeit ist und aber für das Verständnis von linearen GS nützlich ist und außerdem im Studium gebraucht wird.
Was sagen denn die einzelnen Zahlen in diesen Klammern genau aus?
doppelelch
19.04.2002, 19:47
Tja,...
was sind Matrizen und wozu verwendet man sie?
Die Antwort auf diese Frage kann ganze Bücher füllen...
Ich will versuchen es kurz anzureißen.
Wie so oft in der Mathematik gibt es auch hierzu verschiedene Zugänge.
Ein Zugang:
Nehmen wir ein lineares Gleichungssystem von sagen wir zwei Gleichungen mit zwei Unbestimmten, z.B.
2a + 3b = 1
a - 2b = 2
Da die Lösung dieses Systems nur von den Koeffizienten und von der rechten Seite abhängt, lässt sich dies auch kürzer formulieren:
(2 3) (a) (1)
( ) * ( ) = ( )
(1 -2) (b) (2)
(Diese Dreifachklammerung soll jeweils einer großen Klammerung entsprechen - geht hier nur leider nicht anders)
Was man sucht ist ein Lösungsvektor (a,b)
Die Klammer mit den geordneten Koeffizienten wird auch als Koeffizientenmatrix bezeichnet.
Et voila - eine Anwendung bzw. Möglichkeit Matrizen einzuführen.
Eine weitere Möglichkeit ist das, was Moritz geschrieben hat, Matrizen einfach als Zahlen-"Kästen" aufzufassen. Damit werden natürlich auch Vektoren (Moritz hat es ausgeführt!) zu speziellen Matrizen. In diesem Sinne ist auch die Lösung, von der tb schrieb so etwas wie eine Matrix (Würde aber wohl niemand so bezeichnen in diesem Zusamenhang).
Noch eine Möglichkeit (und dann solls reichen).
Die obenstehende Darstellung des Gleichungssystems
Matrix * Vektor(1) = Vektor(2)
legt nahe, Matrizen als eine Art Abbildung, als Funktion zu verstehen, die den Vektor(1) auf einen Vektor(2) abbildet.
Spannend wird das (nun zur Anwendung), als dass die Wahl des Koordinatensystems in der Linearen Algebra relativ() beliebig ist.
Und eine Matrix, die sich im kartesischen KO-System nur schwer interpretieren lässt, lässt sich womöglich bezogen auf eine andere Basis relativ schnell als eine Drehung im R3 erkennen.
Umgekehrt lassen sich eben solche Abbildungen (Drehungen, Spiegelungen, Projektionen, Streckungen) gut als Matrix darstellen (aber das ist dann wirklich fast schon Uni).
Multiplikationen von Matrizen (die es dann natürlich erst zu definieren gilt) erlauben dann auch eine Hintereinanderausführung solcher Abbildungen.
Wenn mich nicht alles täuscht, lässt sich dies gut in der Informatik anwenden, wenn es darum geht Drehungen dreidimensionaler Körper auf den Bildschirm zu projezieren.
Ich hoffe das war ein halbwegs zufriedenstellender Einblick.
Gruß
de
was sind Matrizen und wozu verwendet man sie?
Die Antwort auf diese Frage kann ganze Bücher füllen...
Ich will versuchen es kurz anzureißen.
Wie so oft in der Mathematik gibt es auch hierzu verschiedene Zugänge.
Ein Zugang:
Nehmen wir ein lineares Gleichungssystem von sagen wir zwei Gleichungen mit zwei Unbestimmten, z.B.
2a + 3b = 1
a - 2b = 2
Da die Lösung dieses Systems nur von den Koeffizienten und von der rechten Seite abhängt, lässt sich dies auch kürzer formulieren:
(2 3) (a) (1)
( ) * ( ) = ( )
(1 -2) (b) (2)
(Diese Dreifachklammerung soll jeweils einer großen Klammerung entsprechen - geht hier nur leider nicht anders)
Was man sucht ist ein Lösungsvektor (a,b)
Die Klammer mit den geordneten Koeffizienten wird auch als Koeffizientenmatrix bezeichnet.
Et voila - eine Anwendung bzw. Möglichkeit Matrizen einzuführen.
Eine weitere Möglichkeit ist das, was Moritz geschrieben hat, Matrizen einfach als Zahlen-"Kästen" aufzufassen. Damit werden natürlich auch Vektoren (Moritz hat es ausgeführt!) zu speziellen Matrizen. In diesem Sinne ist auch die Lösung, von der tb schrieb so etwas wie eine Matrix (Würde aber wohl niemand so bezeichnen in diesem Zusamenhang).
Noch eine Möglichkeit (und dann solls reichen).
Die obenstehende Darstellung des Gleichungssystems
Matrix * Vektor(1) = Vektor(2)
legt nahe, Matrizen als eine Art Abbildung, als Funktion zu verstehen, die den Vektor(1) auf einen Vektor(2) abbildet.
Spannend wird das (nun zur Anwendung), als dass die Wahl des Koordinatensystems in der Linearen Algebra relativ() beliebig ist.
Und eine Matrix, die sich im kartesischen KO-System nur schwer interpretieren lässt, lässt sich womöglich bezogen auf eine andere Basis relativ schnell als eine Drehung im R3 erkennen.
Umgekehrt lassen sich eben solche Abbildungen (Drehungen, Spiegelungen, Projektionen, Streckungen) gut als Matrix darstellen (aber das ist dann wirklich fast schon Uni).
Multiplikationen von Matrizen (die es dann natürlich erst zu definieren gilt) erlauben dann auch eine Hintereinanderausführung solcher Abbildungen.
Wenn mich nicht alles täuscht, lässt sich dies gut in der Informatik anwenden, wenn es darum geht Drehungen dreidimensionaler Körper auf den Bildschirm zu projezieren.
Ich hoffe das war ein halbwegs zufriedenstellender Einblick.
Gruß
de
Tomboy
19.04.2002, 20:01
Hm... vielleicht sollte ich erst mal einen Thread mit einer Einführung in die Vektorrechnung suchen... ;)
Was du da von verschiedenen Koordinatensystemen und R³ erzählst, verstehe ich nicht so recht...
Trotzdem danke :)
Was du da von verschiedenen Koordinatensystemen und R³ erzählst, verstehe ich nicht so recht...
Trotzdem danke :)
upsidedown
19.04.2002, 20:06
Wenn mich nicht alles täuscht, lässt sich dies gut in der Informatik anwenden...
... und da nicht nur in der Geometrie ;) z.B. fast die gesamte Numerik wird als Matrizenrechnung formuliert, weil sich das ganze damit dann wunderbar in arrays (is nichts wirklich anderes als ne metrix ;)) speichern und rechnen lässt. Das lösen linearer GS (Stichwort: Gaussalgorithmus) ist da nur ein Vorgeschmack, wenn auch ein äußerst wichtiges Arbeitspferd der Numerik.
Warum macht man das nicht anders? Weil es halt die kompakteste Form ist, wie man lineare GS mit meinetwegen 500 Gleichungen und 500 Unbekannten formulieren und auch rechentechnisch speichern kann. (500 Gleichungen sind übrigens absolut nicht viel). Das diese Koeffizientenmatrix dann noch ne Menge toller Eigenschaften hat, die Aussagen über bestimmte Eigenschaften des GS erlauben versteht sich danach fast von selber.
Gruß,
UpsideDown
... und da nicht nur in der Geometrie ;) z.B. fast die gesamte Numerik wird als Matrizenrechnung formuliert, weil sich das ganze damit dann wunderbar in arrays (is nichts wirklich anderes als ne metrix ;)) speichern und rechnen lässt. Das lösen linearer GS (Stichwort: Gaussalgorithmus) ist da nur ein Vorgeschmack, wenn auch ein äußerst wichtiges Arbeitspferd der Numerik.
Warum macht man das nicht anders? Weil es halt die kompakteste Form ist, wie man lineare GS mit meinetwegen 500 Gleichungen und 500 Unbekannten formulieren und auch rechentechnisch speichern kann. (500 Gleichungen sind übrigens absolut nicht viel). Das diese Koeffizientenmatrix dann noch ne Menge toller Eigenschaften hat, die Aussagen über bestimmte Eigenschaften des GS erlauben versteht sich danach fast von selber.
Gruß,
UpsideDown
Tomboy
19.04.2002, 20:09
fast... ;) :D
upsidedown
19.04.2002, 20:14
Soll ich hier jetzt anfangen, euch mit Begriffen wie Eigenwerten, Eigenvektoren, Rang, Rangdefekt, singuläre/reguläre Matrizen, der Inversen einer Matrix, transponierten Matrizen und son Zeugs zuzubomben?
Wohl nicht :D
Gruß,
UpsideDown
Wohl nicht :D
Gruß,
UpsideDown
Tomboy
19.04.2002, 20:16
Och, erklären könntest du sie ;) *g*
buba
19.04.2002, 20:19
Originalnachricht erstellt von upsidedown
Warum macht man das nicht anders? Weil es halt die kompakteste Form ist, wie man lineare GS mit meinetwegen 500 Gleichungen und 500 Unbekannten formulieren und auch rechentechnisch speichern kann. (500 Gleichungen sind übrigens absolut nicht viel).
Erzähl! *interessiert*
Warum macht man das nicht anders? Weil es halt die kompakteste Form ist, wie man lineare GS mit meinetwegen 500 Gleichungen und 500 Unbekannten formulieren und auch rechentechnisch speichern kann. (500 Gleichungen sind übrigens absolut nicht viel).
Erzähl! *interessiert*
Lim_Dul
19.04.2002, 20:28
Originalnachricht erstellt von upsidedown
Soll ich hier jetzt anfangen, euch mit Begriffen wie Eigenwerten, Eigenvektoren, Rang, Rangdefekt, singuläre/reguläre Matrizen, der Inversen einer Matrix, transponierten Matrizen und son Zeugs zuzubomben?
Wohl nicht :D
Gruß,
UpsideDown
Lass es bleiben ;) ich hab ein Semester darüber gehört. ;)
Soll ich hier jetzt anfangen, euch mit Begriffen wie Eigenwerten, Eigenvektoren, Rang, Rangdefekt, singuläre/reguläre Matrizen, der Inversen einer Matrix, transponierten Matrizen und son Zeugs zuzubomben?
Wohl nicht :D
Gruß,
UpsideDown
Lass es bleiben ;) ich hab ein Semester darüber gehört. ;)
Tomboy
19.04.2002, 20:31
Originalnachricht erstellt von Lim_Dul
Lass es bleiben ;) ich hab ein Semester darüber gehört. ;)
dann kannst dus ja erklären... ;)
Lass es bleiben ;) ich hab ein Semester darüber gehört. ;)
dann kannst dus ja erklären... ;)
upsidedown
19.04.2002, 20:33
Ja, mich holen sie auch grad wieder ein... Aber besser als Statistik :kotz: Aber die lässt mich in der Versuchsplanung auch nicht in Frieden :mad:
@buba: de hat die Grundidee oben doch schon skizziert.
Gruß,
UpsideDown
@buba: de hat die Grundidee oben doch schon skizziert.
Gruß,
UpsideDown
upsidedown
19.04.2002, 20:35
@tb: ja, könnten wir :D
buba
19.04.2002, 20:35
Ja, ja, aber ich beziehe mich auf das "500 Gleichungen mit 500 Unbekannten ist absolut nicht viel"!
upsidedown
19.04.2002, 20:48
Wie man auf soviele Gleichungen kommt meinst du?
Beispiel: Du hast irgendeine dusselige (hoffentlich lineare, aber das setz ich mal vorraus) (partielle) Differentialgleichung. Die kannst (willst) du nicht analytisch lösen, sondern numerisch. Ein üblicher Ansatz hierfür ist die sog. Finite-Differenzen Methode.
Grundidee:
Du rasterst das Gebiet, für das du die Lösung haben willst und benutzt anstelle von Differentialen Differenzengleichungen. Das macht dann für jede Stützstelle eine lineare Differenzengleichung. Und da kommt recht schnell ne Menge an Punkten zusammen. Zum einen muss man recht fein rastern, sonst wird die Näherung unbrauchbar und zum anderen hat man bei partiellen Dgl ja auch noch mehr als eine Variable. Ein dynamisches 3D Wärmeleitungsproblem z.B. erfordert, das du einen Vierdimensionalen Raum (x,y,z,t) schön fein würfelst. Das summiert sich ganz gut :D
Das speichert man dann natürlich nicht ganz so blauäugig (fast alle Elemente der Koeffizientenmatrix sind Null), das macht irgendwann auch kein Rechner mehr mit - aber die Grundidee ist klar?
Gruß,
UpsideDown
Beispiel: Du hast irgendeine dusselige (hoffentlich lineare, aber das setz ich mal vorraus) (partielle) Differentialgleichung. Die kannst (willst) du nicht analytisch lösen, sondern numerisch. Ein üblicher Ansatz hierfür ist die sog. Finite-Differenzen Methode.
Grundidee:
Du rasterst das Gebiet, für das du die Lösung haben willst und benutzt anstelle von Differentialen Differenzengleichungen. Das macht dann für jede Stützstelle eine lineare Differenzengleichung. Und da kommt recht schnell ne Menge an Punkten zusammen. Zum einen muss man recht fein rastern, sonst wird die Näherung unbrauchbar und zum anderen hat man bei partiellen Dgl ja auch noch mehr als eine Variable. Ein dynamisches 3D Wärmeleitungsproblem z.B. erfordert, das du einen Vierdimensionalen Raum (x,y,z,t) schön fein würfelst. Das summiert sich ganz gut :D
Das speichert man dann natürlich nicht ganz so blauäugig (fast alle Elemente der Koeffizientenmatrix sind Null), das macht irgendwann auch kein Rechner mehr mit - aber die Grundidee ist klar?
Gruß,
UpsideDown