Beweisaufgabe, diagonalisierbare nxn matrix

[nobody]

eine matrix M sei diagonalisierbar mit eigenwerten a1,...,ak
und zugehoerigen algebraischen vielfachheiten e1,....,ek.
Zeige, dass dann gilt:

det(M) = a1e1 <font class="serif">&middot;</font> ... <font class="serif">&middot;</font> akek

jemand eine idee?

[doppelelch]

Na, das ist doch recht einfach.

Wenn M diagonalisierbar ist, dann gibt es eine Matrix S mit

SAS-1=D
(D soll eine Diagonalmatrix sein, wobei die Eigenwerte dann auf der Diagonalen dieser Matrix D zu finden sind. Ferner ist die dann die Determinante von D das vorgegebene Produkt der Eigenwerte)

Nun ist det[S-1]=1/detS, also gilt

detA=detS*detA*det[S-1]

ferner gilt der Determinantenmultiplikationssatz, also

det[SAS-1]=detD

Fertig!

Gruß
de