Stochastik-Tests

[Curie]

Hallo,

folgende Aufgabe:

Für Chartergesellschaften, deren Flugzeuge fast immer ausgebucht sind, ist es wichtig, zur Kalkulation der Treibstoffkosten das mittlere Gewicht ihrer Passagiere zu kennen. Eine der Gesellschaften will überprüfen, ob das "alte" Durchschnittsgewicht von 71kg bei einer Standardabweichung von 9kg noch gültig ist. Zu diesem Zwecke werden 100 Passagiere vor dem Start gewogen. Dabei wird ein Mittelwert von 73,5kg festgestellt. Die Gesellschaft schliesst hieraus auf ein vergrössertes Durchschnittsgewicht.

a)Wie gross ist die Irrtumswahrscheinlichkeit?

b)Wie gross ist der Fehler 2.Art, wenn das neue Durchscnittsgewicht tatsächlich 73,5Kg beträgt?


Zu a) hab ich:

rechtsseitiger Test.
Mü0=71
sigma=9
n=100
c=unbekannt

Für die Grenze des Intervalls wo die Nullhypothese noch angenommen wird gilt folgendes:

g=71+c*9/(sqrt 100)

da 73,5 wohl nicht im Intervall liegt:

73,5>71+c*9/10 |-71
2.5>c*9/10 |*10/9
2.778>c

Dann gilt:
Phi(c)=1-alpha und alpha ist die Irrtumswahrscheinlichkeit

Phi(2,788)>Phi(c)
0.9973>1-alpha |-1 |*(-1)
0.0027>alpha

Also Antwort: Die Irrtumswahrscheinlichkeit ist kleiner als 0.27%

Stimmt das?

Und zu b):

Leider war ich bei der Chemieolympiade als wir das gemacht haben und keiner konnte es mit je erklären, das Buch kanns auch nicht. Deshalb frage ich euch:

Wie macht man das?

Vielen Dank im Voraus,

Curie

[glimpse]

Erm, also a) hätte ich ganz anders gemacht (was ist c? der kritische Wert?), aber ich komme auf dasselbe Ergebnis:

Bei dem Test wurde bestimmt wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass Abweichungen von 2,5kg oder größer sich zufällig ergeben:

H0: µ0=µ1
H1: µ0 ungleich µ1

Die Prüfgröße bei bekanntem Populationsmittelwert bzw. Stichproben > 100 ist Normalverteilt.

z= (73,5-71)/(9/(sqrt 100))=2,77

Wert aus der Tabelle der Standardnormalverteilung: F(2,77)= 0,9972

Da die H1 ungerichtet formuliert (warum willst du einen rechtsseitigen Test machen?) ist, ist das Niveau bei dem die H1 gerade noch angenommen wird 1-0,9972=0,0028



b)

Der Fehler zweiter Art/beta-Fehler entsteht bei einer Entscheidung für H1 obwohl die H0 gilt. Man kann ihn nur berechnen wenn wie hier eine spezifische H1 vorliegt. Allerdings sollte das alpha-Niveau auch bekannt sein... also ich nehm jetzt einfach mal an es war 5% .

Wenn man sich ein Bild mit zwei Normalverteilungen malt, einmal mit µ=71 und einmal mit µ=73,5 sieht man dass der beta-Fehler diejenige Fläche ist, die der kritische z-Wert der linken Kurve von der rechten Kurve abschneidet. Es muss also erstmal einiges herumtransformiert werden...

Berechnung:

1. Bestimmung Wertes der z-transformiert den kritischen z-Wert (in Abhängigkeit vom alpha-Niveau...) liefert, unter der Bedingung dass die H0 gilt:
z(krit) für alpha= 0.05, zweiseitig: 1,960

1,960=(x-71)/(9/(sqrt 100)) => x=72,764


2. x unter der Bedingung dass H1 gilt z-transformieren:

z= (72,764-73,5)/(9/(sqrt 100))= -0.8177 ; F(-0.8177)=1-F(0.8177)=0.209

3. P(beta-Fehler)=1-0.209=79,1%

[upsidedown]

Zu a) muss ich nichts sagen, ist völlig ok was ihr da macht.

b)
Originalnachricht erstellt von glimpse
Der Fehler zweiter Art/beta-Fehler entsteht bei einer Entscheidung für H1 obwohl die H0 gilt.
genau andersrum - so ist das der alpha-Fehler.

Kategorie Schusselfehler, die Rechnung ist nämlich ok.

Theoretisch müsste man hinten noch ein bischen wegschneiden (von der oberen Grenze des Annahmebereiches der H0) aber das ist wirklich ein Fliegendreck und ist vernachlässigbar.

Ist nicht schön aber was besseren hab ich auf die Schnelle nicht gefunden. So sieht das Ganze graphisch interpretiert aus:
http://www.luebbert.net/uni/statist/stata/stata05.gif

[glimpse]

Originalnachricht erstellt von upsidedown

genau andersrum - so ist das der alpha-Fehler.


oops... up hat natürlich wie immer Recht ;)
Danke.

[Curie]

Ok...

Danke,

Bei b kann ich das aber nicht ganz nachvollziehen...ich weiss was der beta fehler ist, aber das mit dem transformieren...

Nennt sich das ganzen noch anders?

Thx, Curie

[upsidedown]

Das was wir hochtrabend "Z-Transformation" nennen ist einfach das umrechnen auf eine Standardnormalverteilung (Mittelwert 0 und Streuung 1) wie sie halt nur tabelliert ist.

Ach ja, dumme Anmerkung am Rande: Das ist keine Stochastik, das ist Inferenzstatistik. ;)

[Curie]

:rolleyes:

Aha...wir nennen das Ganze aber Stochastik....

Trotzdem hilft mir das noch nicht viel.

"1. Bestimmung Wertes der z-transformiert den kritischen z-Wert (in Abhängigkeit vom alpha-Niveau...) liefert, unter der Bedingung dass die H0 gilt:
z(krit) für alpha= 0.05, zweiseitig: 1,960

1,960=(x-71)/(9/(sqrt 100)) => x=72,764"

Könnt ihr das nicht so schreiben, dass ein Schüler dies versteht? Bedenke dass ich einen Lehrer habe der lieber sagt "viele zahlen wovon welche x sind", anstatt "x Elemet R"...

:cry: :help:

Curie

[glimpse]

ok, ich probiers mal langsamer...

du hast die beiden verteilungen der Mittelwerte, also wenn du aus einer population in der der Mittelwert eigentlich 71 ist (mit einer Streuung von 9) mehrere Stichproben vom Umfang 100 ziehst erhältst du eine Verteilung in Glockenform mit dem höchsten Punkt bei 71 mit einer Streuung von 9/(sqrt 100).

Ok, dann suchst du nach der Fläche die in up's Diagramm als beta eingezeichnet ist. Da man die Normalverteilung nicht integrieren kann muss man für diese Flächenbestimmung (die Flächen entsprechen den Wahrscheinlichkeiten) auf z-transformierte Werte zurückgreifen, was wie up schon gesagt hat nichts anderes heisst als auf die Standardnormalverteilung die tabelliert ist.
Nur von dieser Standardnormalverteilung kennst du den x-Wert der deinem alpha-Niveau zugeordnet ist. Ich würds ja gerne ohne z-Werte machen, aber ich wüsste ehrlich nicht wie, dafür müsstest du mir schon genauer sagen wie ihr das immer macht...

Die Formel für die z-Transformation:

z=(x-xquer)/sigma

mit:

z: kritische Grenze, bei der die H0 gerade noch verworfen wird

x: gesuchter kritischer Wert

xquer: Mittelwert deiner Verteilung, hier 71 (da die H0 besagt dass der wahre Mittelwert sich nicht geändert hat)

sigma: Streuung deiner Verteilung, hier 9/(sqrt 100)

Im ersten Schritt suchst du den x-Wert, der, wenn die H0 gilt (also mit xquer=71) den kritischen z-Wert liefert. Auf up's Bild ist das der Strich der die beta-Fläche links begrenzt, berechnet aus der Kurve mit dem Maximum bei 71.

Im zweiten Schritt setzt du diesen Wert in die z-Transformation für die Kurve mit dem Maximum bei 73.5 ein, denn um die Fläche berechnen zu können brauchst du wieder die Standardnormalverteilung (wenn es ginge würde man einfach integrieren, jetzt da man den kritischen x-Wert ja kennt).

Und im dritten Schritt guckst du einfach in deine Tabelle welche Wahrscheinlichkeit deinem Wert der Standardnormalverteilung den du gefunden hast denn nun zugeordnet ist.

Hoffe es ist etwas klarer geworden, ansonsten frag einfach nochmal nach.

PS: zur z-Standardisierung: http://www.studenten-city.de/forum/showthread.php?threadid=10087&highlight=zstandardisierung

[Curie]

Hmm...So machen wir es bestimmt nicht in der Schule...

Mein Lehrer meinte dass es so geht:

73,5>71+c*9/10 , das hatten wir vorhin, und das selbe nochmal aber so:

73,5>73,5+c*9/10

Dann hat man 0>c, dann schaut man in der Tabelle nach und erhält für den Fehler 2.Art 50% :rolleyes:

Ganz richtig denke ich ist das aber nicht...

Glimpse hat ja auch 79,etwas raus...

Versteht einer nun wieso ich die Schule manchmal zum :kotz: finde?

Thx anyway,

Curie

[glimpse]

:suspect: , sehr suspekt sogar...

Also wenn du kein alpha-Niveau festlegst, was dein Lehrer nicht zu tun scheint hast kommst du nicht an den beta-Fehler ran... nebenbei bemerkt, der beta-Fehler wird in der empirischen Praxis ja über das alpha-Niveau geregelt, und 80% ist so pi mal Daumen der Richtwert den man anstrebt. Von 50% träumt man bloß, da wird ja der alpha-Fehler riesig...

Und wenn ich versuche den p-Wert als eine Art alpha-Niveau in die Rechnung einzusetzen komme ich auf eine beta-Wahrscheinlichkeit von an die 100% (logischerweise)... hmm!

Komische Sachen macht ihr da...

[Curie]

:cry:

:kotz:

:cry:

[glimpse]

Hey, nicht weinen... :trost:

Wenn's dich beruhigt, beta-Fehler berechnen hatten wir auch bloß als Anmerkung am Rande zum tieferen Verständnis. Normalerweise hat man ja keine spezifische H1 und kann ihn damit nicht berechnen. Und für die Prüfung machst du's einfach so wie dein Meister ;)

[Curie]

Danke :)

Meister...hahahahahahhahahahaha.......


:p

[upsidedown]

Ich weiss nicht obs dich beruhigt - aber entweder da ist beim mitschreiben gewaltig was durcheinandergeraten bei dir oder ich gebs deinem Lehrer schriftlich das er nicht die geringste Ahnung von Statistik hat. :no:

Ich schreibs dir morgen mal knapp zusammen wie man das ordentlich macht.

[Curie]

Also, mitgeschrieben hab ich es nicht falsch:D

Das ist nett von dir, dass du mir das knapp zusammenschreibst :D

Nochmal vielen Dank an alle hier :D

[upsidedown]

Bitteschön - ich hoff es hilft was :)

kannste meinetwegen auch gerne deinem Lehrer mal als Hausaufgabe aufgeben ;)

[glimpse]

Das hast du ja richtig hübsch gemacht :)

Alles mit Latex?

Allerdings ist das immer noch mit z-Standardisierung, und damit rechnet Curies Lehrer anscheinend wohl eher nicht- und was er als alpha-Niveau genommen hat ist mir immer noch schleierhaft.

[upsidedown]

Nich alles, das Bildchen ist mit Mathematica gemacht ;)

Originalnachricht erstellt von Curie
g=71+c*9/(sqrt 100)
Das ist der verzweifelte Versuch eine z-Standardisierung durchzuführen - gucks mal genau an ;)

alpha-Wert? Der rechnet da irgendwas - aber nicht den ß-Fehler - über den p-Wert aus.

[Curie]

Vielen Dank....

Ich lese es aber später durch. Will im Moment nichts mehr von der Schule wissen.

Ab in die 4.Runde der Chemieolympiade! (fängt heute an)

Gruesse,

Curie