Ich habe folgende Aufgabe: Zwei Würfel werden solange geworfen, bis alle
Augenzahlsummen (2 - 12) mindestens 1 x vorgekommen sind.
Wie rechne ich dafür einen Erwartungswert aus, also die mittlere Anzahl der Würfe??
Das Problem liegt an den verschiedene Wahrscheinlichkeiten, denn dass man eine 7 würfelt ist wahrscheinlicher, als das man eine 2 oder 12 würfelt!
PS: Ich bin zwar im Leistungskurs Mathe, aber erst 12. Klasse, also
bitte nicht allzu zu komplizierte antworten.
THX Alot!!
glimpse
22.03.2003, 18:56
Vorschlag ohne Garantie ;)
Der Erwarungswert ist ja die Summe über alle möglichen Ereignisse mal die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten dieses Ereignisses. Selbst wenn du unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten ist das eigentlich kein Problem:
Damit hast du den theoretischen Mittelwert der Verteilung, also welches Ergebnis du "im Mittel" beim Würfeln erwarten kannst. Ob das der mittleren Wurfhäufigkeit entspricht wie oft du würfeln muss um alle Zahlen zu kriegen? Ich wag's fast zu bezweifeln...
upsidedown
22.03.2003, 19:00
Ob das der mittleren Wurfhäufigkeit entspricht wie oft du würfeln muss um alle Zahlen zu kriegen? Ich wag's fast zu bezweifeln...
Ich auch ;) Das ist der Erwartungswert für das Ergebniss eines einzelnen Wurfes was du da ausgerechnet hast.
nobody
22.03.2003, 19:56
Ich bin mir nicht sicher, aber vielleicht hilft dir das weiter
http://www.forst.uni-muenchen.de/EXT/LST/AWINF/LEHRE/BIOMETRIE/UNTERLAGEN/tabelle_5.W2Q.html
upsidedown
22.03.2003, 20:30
Nein, das ist genau das gleiche was glimpse auch gemacht hat
upsidedown
22.03.2003, 23:00
Das hat mir jetzt doch keine Ruhe gelassen...
Ich denk ich habs weitgehend gelöst - hier erstmal der erste Teil. (is nich hübsch, aber das muss ja auch nicht druckreif sein ;))
Was jetzt noch ansteht: Den Erwartungswert formulieren und dann mal gucken ob man das mit den binomischen Lehrsätzen event. noch etwas hübscher kriegen kann.
Ansonsten würd ich damit dann den Rechner mal füttern.
(aber nicht heute abend mehr...)
Vielleicht gibts ja auch ne einfachere Lösung - aber für die Schule erscheint mir das doch arg heftig zu sein die Aufgabe.. Die hat mir grad so ziemlich alles was ich im Studium an Kombinatorik gelernt hab (und noch ein bischen mehr) abverlangt und obs wirklich stimmt würd ich jetzt auch nicht drauf schwören..
nobody
23.03.2003, 09:03
Thx erstmal :), allerdings muss ich das ganze wohl noch ein wenig öfters lesen, bis ich es ganz verstehe ;)
nobody
27.03.2003, 12:35
Hi! Ich bins nochmal, mal eine Frage an upsidedown, könntest du den zweiten teil deiner Lösung bis zum Wochenende online stellen?
Und könntest du mir deinen echten Namen verraten?
Ich würde deine Lösung nämlich gerne in meiner Facharbeit erwähnen und das kann ich nur, wenn mir der Autor bekannt ist.
Ich find auch, mach einfach ein bischen Werbung fürs Forum :)
Zweiter Teil? Viel ists doch gar nicht mehr, ein bischen wollte ich dir schon noch überlassen ;)
Den Erwartungswert aufstellen und dann am besten einfach mit dem Computer näherungsweise als untere Schranke ausrechnen. Wenns einem Spass macht kann man noch zeigen, dass das Ding wirklich konvergiert, aber das tuts ganz sicher (auf Fakultäten im Nenner kann man sich eigentlich verlassen ;))
upsidedown
27.03.2003, 16:37
:(
Da ist wohl noch ein Fehler drin... :sad: Wenn ich danach E(X) ausrechne komm ich auf was in der Größenordnung 1014
Sorry, irgendwo ist das noch der Wurm drin (ich wusste schon ganz genau warum ich wollte das sich das nochmal jemand anguckt...)
Was lernt man daraus? Das Übernehmen von nicht überprüften oder von einem überprüfbaren Quellen ist ne gefährliche Angelegenheit ;)
nobody
28.03.2003, 18:32
Ich weiss nicht ob das was hilft, aber ich hab mal ne Simulation in VB geschrieben und die hat nach ungefähr 500.000 versuchen
(also 500.000 X warten bis alle Augenzahlen erreicht sind) einen Wert von 61,07 ermittelt.
nobody
28.03.2003, 20:11
hallo zusammen ,
ich glaube ihr bringt da doch etwas durcheinander.
es ist genau so wie glimpse es beschrieben hat.der erwartungswert ist die summe über alle erignisse multipliziert mit deren wahrscheinlichkeit.dieser wert bleibt immer gleich,egal wie oft man würfelt!ein einfacheres beispiel:nur ein würfel! erwartungswert =3,5 egal ob man 1 mal oder 1000 mal würfelt.
Lim_Dul
28.03.2003, 22:36
So ich versuchs mal :)
Wahrscheinlickeit für eine 2: 1/36
Wahrscheinlickeit für eine 3: 2/36=1/18
Wahrscheinlickeit für eine 4: 3/36=1/12
Wahrscheinlickeit für eine 5: 4/36=1/9
Wahrscheinlickeit für eine 6: 5/36
Wahrscheinlickeit für eine 7: 6/36=1/6
Wahrscheinlickeit für eine 8: 5/36
Wahrscheinlickeit für eine 9: 4/36=1/9
Wahrscheinlickeit für eine 10: 3/36=1/12
Wahrscheinlickeit für eine 11: 2/36=1/18
Wahrscheinlickeit für eine 12: 1/36
Sei im folgenden h = Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten
Sollte auch 36/36 insgesamt ergeben. :)
Das Problem ist, wir können darüber nun nicht einfach den Erwartungswert ausrechnen, da wir dann wie schon erwähnt rausbekommen würden, was im Durchschnitt für eine Augenzahl rauskommt. (Wäre hier 7 und recht uninteressant).
Nun betrachten wir es doch mal was anders.
Wir brauchen nun eine Zufallsvariable X, wo folgendes gilt:
P(X=n) = Die Wahrscheinlichkeit das nach n Würfen das erste mal alle Augenzahlen gefallen sind.
Der Erwartungswert von X wäre dann genau der gesuchte.
Nun müssen wir irgendwie schauen, das wir das irgendwie hinbekommen, so das man es ausrechnen kann.
Erstmal definiert ich mir ein Y, mit P(Y=n) nach n-Würfen waren alle Zahlen da, aber nicht zwangsweise erst im n-ten Wurf.
Mengentheorethischer Ansatz:
Man kann den Zustand nach n mal würfeln ja als n-Tupel beschreiben, wobei jeder Eintrag zwischen 2 und 12 sein kann.
Das heißt wir haben 11^n verschiedene Tupel.
Wieviele Tupel davon sind gute Tupel im Sinne von X? Nun alle Tupel, die folgende 2 Bedingungen erfüllen:
Jede Zahl kommt mindestens genau einmal vor.
Die Zahl, die in der letzten Stelle steht, kommt genau 1x vor.
Sei die Zahl an letzter Stelle mal die 2
Dann plazieren wir die 3 an einer der n-1 verschiedenen Stellen: (n-1) Möglichkeiten
Dann plazieren wir die 4 an einer der n-2 verschiedenen Stellen: (n-2) Möglichkeiten
...
Dann plazieren wir die 12 an einer der n-10 verschiedenen Stellen: (n-10) Möglichkeiten
Nun sind noch n-11 Felder frei => frei wählbar 10^(n-11) Möglichkeiten. (10er Potenz, da ja die Zahl 2 nicht vorkommen darf).
Das ganze machen wir nun mit alle 11 Zahlen, ergibt dann am Ende:
11*(n-1)*(n-2)*...(n-10)*10^(n-11) verschiedene Tupel.
Soweit wunderbar :)
Nun müssen wir für jedes Tupel die Wahrscheinlichkeit ausrechnen.
Sei erstmal wieder an letzter Stelle die 2:
Nun gehen wir ein Tupel aus dieser Menge durch, wir treffen auf jeden Fall auf eine 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 und der Rest ist eine Zahl aus dem Bereich 3-12.
Das heißt für ein Tupel aus dieser Menge ergibt sich als Wahrscheinlichkeit:
h * (35/36)^(n-11)
Von diesen Tupeln gibt es (n-1)*(n-2)*...(n-10)*10^(n-11) verschiedene => Gesamtwahrscheinlichkeit
h * (35/36)^(n-11) * (n-1)*(n-2)*...(n-10)*10^(n-11)
Nun betrachten wir mit der 3 am Ende:
Das heißt für ein Tupel aus dieser Menge ergibt sich als Wahrscheinlichkeit:
h * (34/36)^(n-11)
Von diesen Tupeln gibt es (n-1)*(n-2)*...(n-10)*10^(n-11) verschiedene => Gesamtwahrscheinlichkeit
h * (34/36)^(n-11) * (n-1)*(n-2)*...(n-10)*10^(n-11)
usw.
Und summieren dann am Ende auf:
Das Ergibt dann:
h * (n-1)*(n-2)*...(n-10)*10^(n-11) * ( (35/36)^(n-11) + (34/36)^(n-11) + ... + (30/36)^(n-11) + ... + (35/36)^(n-11) )
Einziges Problem an der ganzen Sache, die Formel stimmt nicht, die Wahrscheinlichkeiten gehen sehr schnell gegen unendlich.
Lim_Dul
28.03.2003, 22:50
Ok ich bin dem Fehler auf der Spur.
Ich hab das Problem jetzt wie folgt vereinfacht:
Man hat 10 verschiedene Farben.
Wieviel Möglichkeiten gibt es, die auf n Felder zu plazieren, so das jede Farbe mindestens 1x benutzt wird?
upsidedown
29.03.2003, 02:31
Originalnachricht erstellt von Lim_Dul
Man hat 10 verschiedene Farben.
Wieviel Möglichkeiten gibt es, die auf n Felder zu plazieren, so das jede Farbe mindestens 1x benutzt wird?
Das ist leider auch zu einfach.. Damit beantwortet man nur die Frage wie wahrscheinlich es ist, in maximal n Zügen zum Erfolg zu kommen - nicht in *genau* n Zügen.
Ich bin nochmal in mich gegangen, aber ohne es heute noch konkretisiert zu haben: Ich denke mein Grundansatz ist schon nicht völlig verkehrt, ich zähl blos noch Varianten mehrfach. In meiner Argumentation ist mit der doppelten X wenn meinetwegen die 2 doppelt ist 1 X 3 2 und 1 2 3 X nicht das gleiche, auch wenns beides für 1 2 3 2 steht.
Ich pfriemel das nochmal hin, aber nicht mehr um diese Uhrzeit :sleep:
glimpse
29.03.2003, 11:56
Ok, mal eine ganz dumme Frage Jungs...
Für den Erwartungswert multipliziere ich doch ein Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis und addiere das über alle möglichen Ereignisse auf... In diesem Fall würde ich also anfangen bei 11 Würfe * P(bei 11 Würfen alle 11 Zahlen) usw. Richtig?
Aber das müsste ich dann bis ins Unendliche fortsetzen... ? Also wenn ich das als Funktion aufzeichne beginnt sie bei x=11, hat ihr Maximum bei ca. 60, fällt zunächst symmetrisch ab und geht dann ins Unendliche weiter? Ist es überhaupt sinnvoll bei so einer unsymmetrischen Funktion ein (theoretisches) arithmetisches Mittel bestimmen zu wollen?
:confused:
upsidedown
29.03.2003, 13:10
Originalnachricht erstellt von glimpse
Ok, mal eine ganz dumme Frage Jungs...
Fragen werden höchstens dann dumm wenn man sie zu oft und viel zu spät stellt ;)
Originalnachricht erstellt von glimpse
Für den Erwartungswert multipliziere ich doch ein Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis und addiere das über alle möglichen Ereignisse auf... In diesem Fall würde ich also anfangen bei 11 Würfe * P(bei 11 Würfen alle 11 Zahlen) usw. Richtig?
:up: Absolut richtig :yes:
Originalnachricht erstellt von glimpse
Aber das müsste ich dann bis ins Unendliche fortsetzen... ?
Jupp, das Leben kann hart sein ;) Bei dem leider (noch?) falschen zeugs das ich da gebastelt hab braucht Mathematica für eine analytische Grenzwertbestimmung auf nem P4-1,7 auch über ne Minute - also viel Spass beim Kopfrechnen *g*
Originalnachricht erstellt von glimpse
Also wenn ich das als Funktion aufzeichne beginnt sie bei x=11, hat ihr Maximum bei ca. 60, fällt zunächst symmetrisch ab und geht dann ins Unendliche weiter?
Mit dem Maximum bei ca. 60 wär ich vorsichtig. Du sagst ja selber das Ding ist unsymmetrisch. Also fallen Arithmetisches Mittel bzw der Erwartungswert nicht mit dem Modus zusammen.
Originalnachricht erstellt von glimpse
Ist es überhaupt sinnvoll bei so einer unsymmetrischen Funktion ein (theoretisches) arithmetisches Mittel bestimmen zu wollen?
Naja sicher - es ist halt blos nicht der Modalwert. Es ist ja auch die Frage auf eine ganz andere Fragestellung.
Erwartungswert: Mit wievielen Würfen muss ich im Mittel rechnen? Saudummes Beispiel: Einmal die zwei Würfel werfen kostet einen Euro. Ich hab zuviel Geld und spiel das Spiel meinetwegen 100 Mal (Also 100 Mal solange Würfeln bis ich alle Augensummen beisammen hab). Dabei muss ich im Mittel Ausgaben von 100 * E(X) Euro erwarten.
Man könnte wenn man denn irgendwann mal die richtige Verteilung haben sollte auch noch die Varianz ausrechnen um dann sagen zu können wie nah an dem Erwartungswert ich nach den 100 Spielen erwarten kann dranzuliegen (da war noch was ;)).
Modalwert: Jetzt zieh ich das Spiel wie ein Pferderennen auf: Ich wette darauf, dass es genau meinetwegen 34 Würfe braucht. Dann interessiert mich der Modalwert: Das ist nämlich die Anzahl an Würfen, bei der ich die größte Trefferchance hab.
Wieder etwas klarer was das soll?
upsidedown
29.03.2003, 13:20
Ach Lim: Hast natürlich recht, man kann die Frage doch so stellen - ich hatte nicht so ganz realisiert das du von 10 und nicht von 11 Möglichkeiten geredet hast.
Lim_Dul
29.03.2003, 22:18
naja ganz so einfach ist mein Ansatz nicht. *grummel*
Die Aufgabe reitzt mich, aber egal was ich versuche, sämtliche Ansätze, die zu einer Lösung führen könnten, splitten sich einen Baum der Größe von ungefähr 11! auf.
Und den aufzustellen hab ich nicht wirklich lust ;)
Lim_Dul
29.03.2003, 22:23
Originalnachricht erstellt von upsidedown
Ich bin nochmal in mich gegangen, aber ohne es heute noch konkretisiert zu haben: Ich denke mein Grundansatz ist schon nicht völlig verkehrt, ich zähl blos noch Varianten mehrfach. In meiner Argumentation ist mit der doppelten X wenn meinetwegen die 2 doppelt ist 1 X 3 2 und 1 2 3 X nicht das gleiche, auch wenns beides für 1 2 3 2 steht.
Ich pfriemel das nochmal hin, aber nicht mehr um diese Uhrzeit :sleep:
Darf ich mal deinen Ansatz was auseinandernehmen *g*
Die Wahrscheinlichkeit für ein beliebiges Doppel ist nicht 1-pl, da dort nicht eingeht das in den Zahlen alle bis auf die letzte Zahl mindestens 1x vorkommt.
Bei der Wahrscheinlichkeit würde für X=12 auch das als Erfolg zählen: 7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,2.
Nachtrag:
Weiterhin kannst du, wenn du für ein Feld mit der Wahrscheinlichkeit 1-pl rechnest, nicht mehr die Fakultät als Grundlage nehmen, sondern du betrachtest im Prinzip Tupel der Form:
(x,x,x,x,x,x,x,x,x,2) Wobei x die einzige Eigenschaft hat keine 2 (oder was immer am Ende steht).
Genaugenommen hast du dann nur 11 verschiedene Tupel, mit 11 Endwerten am Ende.
Ich bin an dem gleichen Problem gescheitert, die auftreteten Tupel und ihre Wahrscheinlichkeiten gescheit zu definieren.
Im Prinzip braucht man 12 verschiedene Elemente, die man in ein Tupel legt:
Die Zahlen 2 bis 12, und das Element x was mit Wahrscheinlichkeit 1-pl auftreten kann und für nicht das letzte Element steht.
Nur kann man dann nicht mehr permutieren, weil man das Element x und die andern Zahlen nicht mehr vertauschen darf ohne das man was doppelt zählt.
upsidedown
01.04.2003, 13:14
... und wenn ich ihn richtig verstanden habe Lim wohl auch.
Das Problem hat einfach einige ekelhafte Eigenschaften die die üblichen Tricks und Kniffe leider nicht zulassen. In meinem Ansatz sind ein paar Vorraussetzungen drin die einfach nicht erfüllt sind und sich auch nicht hinbiegen lassen soweit ich da sehe.
Fazit: Eine analytische Lösung wenn es sie denn gibt (was nicht sein muss) finden wir hier wohl nicht.
Aber: Dein Ansatz das Problem numerisch durch Simulation zu lösen ist schon genau das was man an dieser Stelle jetzt macht. Zumal sich das ziemlich straight-forward realisieren lässt und das Problem auch absolut ergodisch ist (Es gibt keine ausgeprägten Korridore für Trajektorien im Ergebnissraum die eine sehr grosse Stichprobe erforderlich machen würden).
Das soll für deine Facharbeit sein? Hat dir dein Lehrer die Aufgabe gestellt oder hast du dir die selber als Beispiel genommen?
Wie auch immer - wenn mir noch was dazu einfällt schreib ichs hier rein.