Newton approximierte 1671 die Lösung des folgenden Anfangswertproblems: (° als Ableitung)
y°=1-3t+y+t^2+ty, y(0)=1
Verlangt wird ein Ansatz für y als Taylorreihe mit unbekannten
Koeffizienten:
y=a(0)+a(1)t+a(2)t^2+a(3)t^3+a(4)t^4+a(5)t^5+...
Könnte mir hierbei jemand weiterhelfen?
Danke schon mal im Voraus!
Gruss Pharmtec
upsidedown
06.01.2003, 22:29
Ansatz einmal ableiten, Ansatz und Ableitung oben einsetzen. Darauf einen Koeffizientenvergleich machen und die Anfangsbedingung nicht vergessen. Das ganze irgendwann bei einem höheren Glied abbrechen.
Viel Spass, ist eine zwar nicht schwere aber mühseelige Rechnerei.
Gruß,
UpsideDown
upsidedown
07.01.2003, 12:19
Zum Vergleich, wenn man die Taylorreihe nach der 5. Potenz abbricht erhält man als Näherung:
y = 1 + 2t + t3 + t4/4 + t5/4 (+ O(t6))
Gruß,
UpsideDown
Kluizenaar
07.01.2003, 17:57
Eingangsbemerkung an Pharmtec: Serie 10, Aufgabe 1...
@upsidedown
Das mit dem Ansatz und der Ableitung ist schon klar, aber was ist ein Koeffizientenvergleich? :confused:
Gruss
upsidedown
07.01.2003, 18:20
Nie gemacht?
Die meisten lernen den Koeffizientenvergleich bei der Partialbruchzerlegung kennen.
Ich hab grad keine Zeit das zusammenzuschreiben, aber vielleicht reicht der Hinweis ja auch ;)
Gruß,
UpsideDown
Pharmtec
07.01.2003, 18:34
jep, alles klar! danke
Koeffizientenvergleich:
du hast zwei terme, bsp.
T1=Ax^2 + B
T2=ax^2 + au^2 + v
dann gilt:
A= a
B= au^2 + v
gruss
Kluizenaar
07.01.2003, 19:32
Ja stimmt gehört habe ich so was mal, aber wie man das dann konkret braucht weiss ich auch nicht mehr. Wenn man die Koeffizienten verglichen hat, kann man dann die irgendwie einsetzen oder was?
Tönt schon ein bisschen dumm, aber begriffen hab ich's leider nämlich nicht.
Gruss
upsidedown
07.01.2003, 19:40
Wenn du den Koeffizienvergleich machst baust du dabei ein lineares (in diesem Fall netterweise gestaffeltes) Gleichungssystem auf. Das löst du dann und erhälst damit deine Koeffizienten für deinen Ansatz.
Soviel zur Methode, noch ne ganz kleine theoretische Anmerkung: Das GS das man erhält ist überbestimmt und eigentlich nicht lösbar, weswegen man die "letzte" Gleichung rausschmeisst. Aber das tut man bei der Rechnung eh fast automatisch.
Das sich da solche "Probleme" ergeben muss auch so sein, schliesslich erzeugen wir nur eine Näherungslösung. Die exakte Lösung wäre durch die vollständige (halt n gegen unendlich) Taylorreihe beschrieben - aber wer will schon ein unendlich-dimensionales GS lösen? ;) (Ist übrigens ein ziemlich unangenehmes Gebiet, diese Sachen verhalten sich nämlich teilweise ganz anders als endlichdimensionale, aber das nur ganz weit am Rande).