Hydrostatisches Gleichgewicht, Planeten

[arnian]

Hallo liebe Leute,

Ich bin gerade dabei, Übungsbeispiele durchzurechnen und bin dabei auf ein Beispiel gestoßen, bei dem ich keine Ahnung habe, wie ich überhaupt anfangen soll. Eventuell ist irgendjemand von euch mit der Mathematik besser befreundet als ich und kann mir dabei ein bißchen unter die Arme greifen. :)

Angabe:

Ein Planet mit Radius R und der Gesamtmasse M wird duch eine konstante Dichte \rho approximiert. Durch die Lösung von zwei Differenzialgleichungen lässt sich der Zentraldruck Pc aus dem hydrostatischen Gleichgewicht abschätzen.

a) Zunächst integrieren sie die Massenerhaltung, d.h. es gilt \frac{dm}{dr} = 4\pi*\rho*r^2,

wobei mit der Konstanten \rho und der Randbedingung m(r=0) zu rechnen ist. Die Größe m(r) bezeichnet die bist zum Radius r integrierte Masse.

b) Dieses Resultat verwenden wir im hydrostatischen Gleichgewicht, d.h. der Druckverlauf P(r) ist gegeben durch

\frac{dP}{dr} = \frac{G*m(r)*\rho}{r^2}

G ist die Gravitationskonstante. Als äußere Randbedingung kommt P(R)=0 zur Anwendung, wodurch die Integrationskonstante festgelegt ist. Wie seiht der funktionale Verlauf von P(r) aus und welchen Wert nimmt P(0) = Pc an?

Da ich wie gesagt absolut keine Ahnung habe wie ich das Beispiel angehen soll, würde ich mich über jede Hilfe, jede Anregung und jeden Tipp wahnsinnig freuen.

mfG,
arnian :)

[Nick F.]

\frac{dm}{dr}=4\pi\rho r^2
m(r_p)=\int_0^{R}4\pi\rho r^2dr=\frac{4\pi\rho}{3}R^3

dann gilt

\frac{dP}{dr}=\frac{Gm\rho}{r^2}
P(r)=\int\frac{Gm\rho}{r^2}dr=C-\frac{Gm\rho}{r}

jetzt m einsetzen

P(r)=C-\frac{4}{3}G\pi\rho^2 r^2
P(R)=0 \rightarrow C=\frac{4}{3}G\pi\rho^2 R^2
P(0)=P_c=C

Nick